$^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2} = $

एक छात्र को $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें भाग $A$ और $B$ प्रत्येक से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने हैं। यदि भाग $A$ में $6$ प्रश्न और भाग $B$ में $7$ प्रश्न हैं,तो छात्र $10$ प्रश्नों को कितनी तरह से चुन सकता है?

यदि ${ }^{n} C_{12}={ }^{n} C_{8}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$6$ भारतीयों और $8$ विदेशियों में से एक वैज्ञानिक समिति बनाई जानी है,जिसमें कम से कम $2$ भारतीय और भारतीयों की संख्या से दोगुनी संख्या में विदेशी शामिल हों। तो समिति बनाने के तरीकों की संख्या है

$9$ महिलाओं और $8$ पुरुषों में से $12$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है जिसमें कम से कम $5$ महिलाएं शामिल हों। तो उन समितियों की संख्या जिनमें महिलाएं बहुमत में हैं और जिनमें पुरुष बहुमत में हैं,क्रमशः ज्ञात कीजिए।

$9$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $7$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में ठीक $3$ लड़कियाँ होनी चाहिए,तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?