यदि  $^{2n}{C_3}:{\,^n}{C_2} = 44:3$ हो, तो $r$ के किस मान के लिये $^n{C_r}$ का मान 15 होगा

प्राकृत संख्या $n$ का न्यूनतम मान जो कि   $C(n,\,5) + C(n,\,6)\,\, > C(n + 1,\,5)$ को संतुष्ट करता है, होगा

एक शहर में न तो दो व्यक्ति एकसमान दाँतों का समूह रखते हैं और न ही कोई व्यक्ति ऐसा है जिसके दाँत न हों। साथ ही किसी व्यक्ति के $32$ से ज्यादा दाँत नहीं हैं। यदि हम दाँतों के आकार तथा आकृति की उपेक्षा कर दें तथा दाँतों की केवल स्थिति पर ध्यान दें, तब शहर की अधिकतम जनसंख्या है

$1$ से लेकर $30$ तक की संख्याओं में से तीन संख्यायें कितने प्रकार से चुनी जा सकती हैं जबकि तीनों संख्यायें सम न हों

अंग्रेजी वर्णमाला के दिये गये $10$ अक्षरों में से $5$ अक्षरों को लेकर कितने शब्द बनाये जा सकते हैं जबकि कम से कम एक अक्षर की पुनरावृत्ति हो  

बिना पुनरावृत्ति के $UNIVERSE$ शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों, जिनमें $2$ स्वर तथा $2$ व्यंजक हों, के अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की संख्या है_____________