સમીકરણ $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $\{x\}$ અને $[x]$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ અને $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો $\int_{0}^{n}\{x\} dx$,$\int_{0}^{n}[x] dx$ અને $10(n^{2}-n)$ $(n \in N, n > 1)$ એ $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે જે $f'(x) = f(x)$ નું પાલન કરે છે અને $f(0) = 1$ છે,અને $g(x)$ એવું વિધેય છે જે $f(x) + g(x) = x^2$ નું પાલન કરે છે. તો સંકલન $\int_0^1 f(x)g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f(x)$ અને $g(x)$ એકબીજાના વ્યસ્ત વિધેયો હોય કે જેથી $f(1) = 3$ અને $f(3) = 1$ થાય,તો $\int_{1}^{3} \left( g(x) + \frac{x}{f'(g(x))} \right) dx$ ની કિંમત શોધો.

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે,અને $\{x\} = x - [x]$ છે. તો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $M$ શોધો જેના માટે $\int_1^M \{x\}^{[x]} dx > 1$ થાય.

ધારો કે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,જ્યાં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ ની કિંમત શોધો.