ધારો કે I_n = int_0^1 (log x)^n dx,જ્યાં n એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને આપેલ છે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$.ધારો કે $\log x = -t$,તેથી $x = e^{-t}$ અને $dx = -e^{-t} dt$.જ્યારે $x = 0, t 	o \infty$ અને જ્યારે

Vedclass · Accepted Answer

$I_{100} + 100 I_{99}$

Vedclass · Answer

(C) આપણને આપેલ છે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$.ધારો કે $\log x = -t$,તેથી $x = e^{-t}$ અને $dx = -e^{-t} dt$.જ્યારે $x = 0, t 	o \infty$ અને જ્યારે $x = 1, t = 0$.તેથી,$I_n = \int_{\infty}^0 (-t)^n (-e^{-t}) dt = (-1)^n \int_0^{\infty} t^n e^{-t} dt = (-1)^n \Gamma(n+1) = (-1)^n n!$.વૈકલ્પિક રીતે,$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_n = [x(\log x)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx = 0 - n \int_0^1 (\log x)^{n-1} dx = -n I_{n-1}$.આમ,$I_n + n I_{n-1} = 0$.$n = 2011$ માટે,આપણને મળે છે $I_{2011} + 2011 I_{2010} = 0$.વિકલ્પો તપાસતા,$I_{100} + 100 I_{99} = 0$ પણ સાચું છે.તેથી,$I_{2011} + 2011 I_{2010} = I_{100} + 100 I_{99} = 0$.

ધારો કે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,જ્યાં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. તો $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f(0)=-1$,$f^{\prime}(\log _e 2)=21$,અને $\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$ હોય,તો $|a+b+c|$ ની કિંમત શોધો:

જો ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ હોય,તો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n \in N$):

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module