द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1+2a)^{4}(2-a)^{5}$ के गुणनफल में $a^{4}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

यदि $(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^n) \equiv a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_mx^m$ है,तो $\sum_{r=0}^m a_r$ का मान किसके बराबर है?

$(1-x)^{2008}(1+x+x^2)^{2007}$ के विस्तार में $x^{2012}$ का गुणांक किसके बराबर है?

श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ पद} \right)}$ का योग ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $2 \times 1 \times {}^{20}C_4 - 3 \times 2 \times {}^{20}C_5 + 4 \times 3 \times {}^{20}C_6 - 5 \times 4 \times {}^{20}C_7 + \dots + 18 \times 17 \times {}^{20}C_{20}$ का योग किसके बराबर है?

एक पूर्णांक $n \geq 2$ के लिए,यदि $(x+y)^{2n-3}$ के द्विपद विस्तार में सभी गुणांकों का समांतर माध्य $16$ है,तो बिंदु $P(2n-1, n^2-4n)$ की रेखा $x+y=8$ से दूरी क्या है?