^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડ

Vedclass · Accepted Answer

$2^{4n - 2} + (-1)^n 2^{2n - 1}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = ^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$.
$(1+x)^{4n} = \sum_{r=0}^{4n} {^{4n}C_r} x^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$4$ વડે વિભાજ્ય સૂચકાંકો ધરાવતા પદોનો સરવાળો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S = \frac{1}{4} \left[ (1+1)^{4n} + (1-1)^{4n} + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 0 + (1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
તેથી,$(1+i)^{4n} = (\sqrt{2})^{4n} e^{in\pi} = 2^{2n} (\cos(n\pi) + i\sin(n\pi)) = 2^{2n} (-1)^n$.
તે જ રીતે,$(1-i)^{4n} = 2^{2n} (-1)^n$.
આમ,$(1+i)^{4n} + (1-i)^{4n} = 2 \cdot 2^{2n} (-1)^n = 2^{2n+1} (-1)^n$.
આ કિંમતને $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{1}{4} \left[ 2^{4n} + 2^{2n+1} (-1)^n \right] = 2^{4n-2} + 2^{2n-1} (-1)^n$.

$^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

જો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $(1 - x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{2n}x^{2n}$ હોય,તો $a_0 + a_2 + a_4 + .... + a_{2n} = $

જો $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ હોય,તો $C_0 + 2 C_1 + 3 C_2 + \ldots + (n+1) C_n$ ની કિંમત શોધો.

જો $C_r = ^{100}C_r$ હોય,તો $1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $n$ એ $1$ કરતા મોટો ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $3({ }^n C_0) - 8({ }^n C_1) + 13({ }^n C_2) - 18({ }^n C_3) + \ldots$ $(n+1)$ પદો સુધી $=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module