ધારો કે f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 1, તો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x (8t^3 - 6t^2 - 2t + 1) dt = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + x.$અહીં $F(0) = 0$ અને $F(1) = 2(1)^4 - 2(1)^3 - (1)^2

Vedclass · Accepted Answer

$(B)$ અને $(C)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x (8t^3 - 6t^2 - 2t + 1) dt = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + x.$અહીં $F(0) = 0$ અને $F(1) = 2(1)^4 - 2(1)^3 - (1)^2 + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$ છે.$F(x)$ એ બહુપદી હોવાથી તે $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $F'(c) = f(c) = 0$ થાય.આમ,$f(x) = 0$ ને $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.વળી,$f(0) = 1$ અને $f(1) = 1$ છે,અને $f(1/2) = -0.5$ હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ,$f(x)$ ને $(0, 1/2)$ અને $(1/2, 1)$ માં ઉકેલ મળે છે.$f(x)$ ને $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછા બે ઉકેલ હોવાથી,$f(x)$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,કોઈક $c \in (0, 1)$ માટે $f'(c) = 0$ થાય.તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

ધારો કે $f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 1,$ તો

Similar Questions

જો $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની કઈ કિંમત માટે $[0, 1]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય?

જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

વિધેય $y=x^{2}+2$ માટે અંતરાલ $[-2, 2]$ પર રોલના પ્રમેયની ચકાસણી કરો.

ધારો કે $f^{\prime}(0)=-3$ અને $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ છે. તો $f(2)$ ની શક્ય મહત્તમ કિંમત કેટલી હોઈ શકે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module