निश्चित समाकलन int_0^1 frac{x , dx}{x^3 + 16} | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \frac{x}{x^3 + 16}$ है।अंतराल $[0, 1]$ पर $f(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{(x^3 + 16)(1) - x(3

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$[0, \frac{1}{17}]$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = \frac{x}{x^3 + 16}$ है।अंतराल $[0, 1]$ पर $f(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{(x^3 + 16)(1) - x(3x^2)}{(x^3 + 16)^2} = \frac{16 - 2x^3}{(x^3 + 16)^2}$।चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर निरंतर वर्धमान है।अतः,न्यूनतम मान $f(0) = 0$ है और अधिकतम मान $f(1) = \frac{1}{1+16} = \frac{1}{17}$ है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म $m(b-a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b-a)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $m$ और $M$ अंतराल $[a, b]$ पर $f(x)$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं:$0(1-0) \le \int_0^1 \frac{x}{x^3 + 16} \, dx \le \frac{1}{17}(1-0)$।अतः,समाकलन का मान $[0, \frac{1}{17}]$ अंतराल में स्थित है।

निश्चित समाकलन $\int_0^1 \frac{x \, dx}{x^3 + 16}$ का मान अंतराल $[a, b]$ में स्थित है। ऐसा सबसे छोटा अंतराल है

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मान लीजिए कि $f$ एक बहुपद फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x^{2}+1)=x^{4}+5x^{2}+2$ है। तो $\int_{0}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए ${I_1} = \int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}}$ और ${I_2} = \int_1^2 \frac{dx}{x}$,तो:

$\int\limits_2^4 {\left[ {{{\log }_x}2 - \frac{{{{\left( {{{\log }_x}2} \right)}^2}}}{{\ln 2}}} \right]} dx =$

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