જો $h(x) = [\ln(x/e)] + [\ln(e/x)]$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?

ધારો કે $A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ અને $f: A \rightarrow A$ એ $f(k) = \begin{cases} k + 1 & \text{જો } k \text{ એકી હોય} \\ k & \text{જો } k \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $g \circ f = f$ થાય તેવા શક્ય વિધેયો $g: A \rightarrow A$ ની સંખ્યા ...... છે.

ધારો કે $f(x) = Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$ એ એક યુગ્મ વિધેય છે $\forall x \in R - \left\{ (2n + 1)\frac{\pi}{2}, n \in I \right\}$,જ્યાં $A = \sin^2 \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{4}$ અને $B = \tan^2 \alpha + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan \alpha + \frac{1}{3}$. તો $\left[ -\frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ માં $\alpha$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો (જ્યાં $\text{sgn}(x)$ એ $x$ નું સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે).

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ અને $g : R \rightarrow R$ એ બે વિધેયો છે જે $f(x)=\log _{e}(x^{2}+1)-e^{-x}+1$ અને $g(x)=\frac{1-2e^{2x}}{e^{x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$\alpha$ ના કયા અંતરાલ માટે અસમતા $f(g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3})) > f(g(\alpha-\frac{5}{3}))$ સાચી છે?

સમીકરણ $2^x = x^2$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

કેટલાક $a, b, c \in N$ માટે,ધારો કે $f(x)=ax-3$ અને $g(x)=x^b+c$,$x \in R$. જો $(fog)^{-1}(x)=\left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$ હોય,તો $(fog)(ac) + (gof)(b)$ ની કિંમત $..........$ થાય.