यदि p + q + r = 0 और a + b + c = 0 है,तो सारण | vedclass

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Question

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} pa & qb & rc \ qc & ra & pb \ rb & pc & qa \end{array} ight|$.सारणिक का विस्तार करने पर:$\Delta = pa(

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$0$

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(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} pa & qb & rc \ qc & ra & pb \ rb & pc & qa \end{array} ight|$.सारणिक का विस्तार करने पर:$\Delta = pa(ra \cdot qa - pb \cdot pc) - qb(qc \cdot qa - pb \cdot rb) + rc(qc \cdot pc - ra \cdot rb)$$= pa(qa^2r - pbc^2) - qb(q^2ac - prb^2) + rc(qpc^2 - r^2ab)$$= pqr(a^3) - p^2abc - q^3abc + pqr(b^3) + pqr(c^3) - r^3abc$$= pqr(a^3 + b^3 + c^3) - abc(p^3 + q^3 + r^3)$.चूंकि $p + q + r = 0$,हम जानते हैं कि $p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr$.इसी प्रकार,$a + b + c = 0$ होने के कारण,$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.इन मानों को $\Delta$ के व्यंजक में रखने पर:$\Delta = pqr(3abc) - abc(3pqr) = 3pqrabc - 3pqrabc = 0$.

यदि $p + q + r = 0$ और $a + b + c = 0$ है,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} pa & qb & rc \\ qc & ra & pb \\ rb & pc & qa \end{array} \right|$ का मान क्या है?

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यदि $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$,तो $f(2012)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $px^4 + qx^3 + rx^2 + sx + t \equiv \left| \begin{array}{ccc} x^2 + 3x & x - 1 & x + 3 \\ x + 1 & 2 - x & x - 3 \\ x - 3 & x + 4 & 3x \end{array} \right|$ है,तो $t =$

यदि समीकरणों की प्रणाली $ (k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3 $,$ (k+1) x + (k+2) y = k+3 $,और $ x + y = 1 $ सुसंगत है,तो $ k $ का मान ज्ञात कीजिए।

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