यदि (1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ....... | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ है।श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r \cdot C_r}{C_{r-1}}$ है।गुणधर्म $\frac{C_r}{C_{r

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$\frac{n(n + 1)}{2}$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ है।श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r \cdot C_r}{C_{r-1}}$ है।गुणधर्म $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$T_r = r \cdot \frac{n-r+1}{r} = n-r+1$।योग $\sum_{r=1}^{n} (n-r+1) = n + (n-1) + (n-2) + .... + 1$ है।यह प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है,जो $\frac{n(n+1)}{2}$ है।

यदि $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .......... + C_nx^n$ है,तो $\frac{C_1}{C_0} + \frac{2C_2}{C_1} + \frac{3C_3}{C_2} + .... + \frac{nC_n}{C_{n - 1}} = $

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$\sum\limits_{k = 0}^{10} {^{20}{C_k} = }$

$\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ एक समांतर श्रेणी में हैं और $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_n$ द्विपद गुणांक हैं। तो $\sum_{k=0}^n a_k \cdot C_k =$

$^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = ?$

माना $m, n \in \mathbb{N}$ और $\operatorname{gcd}(2, n)=1$ है। यदि $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

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