Medium
જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$
(N/A) આપેલ છે કે $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે.
દરેક વિકલનીય વિધેય એ સતત વિધેય હોવાથી,આપણને મળે છે:
$a) f$ એ $[-5,5]$ પર સતત છે.
$b) f$ એ $(-5,5)$ પર વિકલનીય છે.
તેથી,મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,એવું $c \in (-5,5)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(-5)}{5 - (-5)}$
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) = f(5) - f(-5)$
તે પણ આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય થતું નથી,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in [-5,5]$ માટે $f^{\prime}(x) \neq 0$.
તેથી,$f^{\prime}(c) \neq 0$.
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) - f(-5) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) \neq f(-5)$
આમ,સાબિત થાય છે કે $f(-5) \neq f(5).$
દરેક વિકલનીય વિધેય એ સતત વિધેય હોવાથી,આપણને મળે છે:
$a) f$ એ $[-5,5]$ પર સતત છે.
$b) f$ એ $(-5,5)$ પર વિકલનીય છે.
તેથી,મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,એવું $c \in (-5,5)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(-5)}{5 - (-5)}$
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) = f(5) - f(-5)$
તે પણ આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય થતું નથી,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in [-5,5]$ માટે $f^{\prime}(x) \neq 0$.
તેથી,$f^{\prime}(c) \neq 0$.
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) - f(-5) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) \neq f(-5)$
આમ,સાબિત થાય છે કે $f(-5) \neq f(5).$
Explore More
Similar Questions
ધારો કે $g: R \rightarrow R$ એ અચળ ન હોય તેવું બે વાર વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ થાય. જો વાસ્તવિક વિધેય $f$ ને $f(x)=\frac{1}{2}[g(x)+g(2-x)]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો:
DifficultJEE MAIN 2024
View Solutionજો $f(x)=|x-2|, x \in[0,4]$ હોય,તો આ વિધેય માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતું નથી કારણ કે
વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:
ધારો કે $f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત અચળ ન હોય તેવું બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x)=f(1-x)$ અને $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ થાય. તો
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ $[0,1]$ પર ઓછામાં ઓછી બે વાર શૂન્ય થાય છે
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ $[0,1]$ પર ઓછામાં ઓછી બે વાર શૂન્ય થાય છે
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$
વિધેય $f(x) = (x - 3)^2$ એ $[3, 4]$ અંતરાલમાં મધ્યકમાન પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે. $y = (x - 3)^2$ પરનું એક બિંદુ,જ્યાં સ્પર્શક $(3, 0)$ અને $(4, 1)$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય,તે છે:
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo