$^nC_r + ^{n-1}C_r + ...... + ^rC_r =$

$A, B, \dots, J$ नाम के $10$ व्यक्ति हैं। हमारे पास केवल $5$ व्यक्तियों को रखने की जगह है। यदि $A$ को शामिल करना अनिवार्य है और $G$ तथा $H$ को $5$ के समूह में शामिल नहीं करना है,तो हम इस समूह को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?

$9$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $7$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में ठीक $3$ लड़कियाँ होनी चाहिए,तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

$8$ सज्जनों और $4$ महिलाओं में से $6$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि समिति में कम से कम $3$ महिलाएं हों,तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

$8$ बच्चों वाले एक पिता एक समय में $3$ बच्चों को चिड़ियाघर ले जाते हैं। यदि वह एक ही $3$ बच्चों को दोबारा साथ लिए बिना एक से अधिक बार जा सकते हैं,तो पिता कितनी तरह से चिड़ियाघर जा सकते हैं?

यदि $20$ भिन्न अवयवों वाले समुच्चय $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ के $5$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या,$a_4$ अवयव वाले $5$ अवयवों के उपसमुच्चयों की संख्या से $k$ गुना है,तो $k$ का मान क्या है?