दो परवलयों y=x^{2} और y^{2}=x द्वारा परिबद्ध | vedclass

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Question

(A) दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y=x^{2}$ को $y^{2}=x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $(x^{2})^{2}=x$ मिलत

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(A) दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y=x^{2}$ को $y^{2}=x$ में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं,जिससे $(x^{2})^{2}=x$ मिलता है,या $x^{4}-x=0$। इसके गुणनखंड करने पर $x(x^{3}-1)=0$ प्राप्त होता है,जिससे $x=0$ और $x=1$ मिलते हैं। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ और $A(1, 1)$ हैं।अंतराल $[0, 1]$ में,वक्र $y=\sqrt{x}$,वक्र $y=x^{2}$ के ऊपर स्थित है।आवश्यक क्षेत्रफल ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) dx$$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई।

दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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