વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$

ધારો કે $y=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
ધારો કે $u=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}$ અને $v=x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
તેથી $y=u+v$,એટલે કે $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ $(1)$.
$u=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}$ માટે,બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log u = x \log \left(x+\frac{1}{x}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log \left(x+\frac{1}{x}\right) + x \cdot \frac{1}{x+\frac{1}{x}} \cdot \left(1-\frac{1}{x^2}\right)$.
$\frac{du}{dx} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^{x} \left[ \log \left(x+\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2-1}{x^2+1} \right]$ $(2)$.
$v=x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ માટે,બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log v = \left(1+\frac{1}{x}\right) \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \log x + \left(1+\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-\log x + x + 1}{x^2}$.
$\frac{dv}{dx} = x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \left( \frac{x+1-\log x}{x^2} \right)$ $(3)$.
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^{x} \left[ \log \left(x+\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2-1}{x^2+1} \right] + x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \left( \frac{x+1-\log x}{x^2} \right)$.