$(1 + t^2)^{10}(1 + t^{10})(1 + t^{20})$ के विस्तार में $t^{20}$ का गुणांक है

मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।

यदि $(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^n) \equiv a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_mx^m$ है,तो $\sum_{r=0}^m a_r$ का मान किसके बराबर है?

माना $M = 2^{30} - 2^{15} + 1$ है। जब $M^2$ को आधार $2$ में व्यक्त किया जाता है,तो इसके बाइनरी निरूपण में $1$ की संख्या क्या होगी?

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{n}$,$n \in N$,$0 \leq r \leq n$ के द्विपद विस्तार में $x^{r}$ का गुणांक है। यदि $P_{n} = C_{0} - C_{1} + \frac{2^{2}}{3}C_{2} - \frac{2^{3}}{4}C_{3} + \dots + \frac{(-2)^{n}}{n+1}C_{n}$ है,तो $\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $(1 + x)(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^{30}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{465}x^{465}$ है। तो $a_0 + a_2 + a_4 + \dots$ का योग क्या है?