मान लीजिए $(1 + x)(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^{30}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{465}x^{465}$ है। तो $a_0 + a_2 + a_4 + \dots$ का योग क्या है?

यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ और $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ जहाँ $q$ एक वास्तविक संख्या है और $q \ne 1$ है। यदि $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $k \in N$ का न्यूनतम मान $p$ है,जिसके लिए $(1+x)^3 + (1+x)^4 + \dots + (1+x)^{99} + (1+kx)^{100}, x \neq 0$ में $x^3$ का गुणांक किसी $n \in N$ के लिए $(43n + \frac{101}{4}) ({}^{100}C_3)$ है। तो $p+n$ का मान ज्ञात कीजिए:

गुणनफल $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)(1-2^3x) \ldots (1-2^{15}x)$ में $x^{15}$ का गुणांक क्या है?

यदि $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ का मान $2^{n} \cdot m$ के बराबर है,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।