M द्रव्यमान वाली एक समान आयताकार पतली शीट ABC | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि आयताकार शीट का कुल द्रव्यमान $M$ है। पूरी शीट का द्रव्यमान केंद्र $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ पर है।छायांकित भाग $HBGO$

Vedclass · Accepted Answer

$\left( \frac{5a}{12}, \frac{5b}{12} \right)$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि आयताकार शीट का कुल द्रव्यमान $M$ है। पूरी शीट का द्रव्यमान केंद्र $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} ight)$ पर है।छायांकित भाग $HBGO$ एक आयत है जिसकी लंबाई $\frac{a}{2}$ और चौड़ाई $\frac{b}{2}$ है। इसका द्रव्यमान $m = M 	imes \frac{(\frac{a}{2} 	imes \frac{b}{2})}{(a 	imes b)} = \frac{M}{4}$ है।छायांकित भाग का द्रव्यमान केंद्र $\left( \frac{a}{2} + \frac{a}{4}, \frac{b}{2} + \frac{b}{4} ight) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{3b}{4} ight)$ पर है।शेष द्रव्यमान $M' = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ है।शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक:$x_{cm} = \frac{M(\frac{a}{2}) - \frac{M}{4}(\frac{3a}{4})}{M - \frac{M}{4}} = \frac{\frac{a}{2} - \frac{3a}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{8a-3a}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{5a}{16} 	imes \frac{4}{3} = \frac{5a}{12}$.इसी प्रकार,$y$-निर्देशांक:$y_{cm} = \frac{M(\frac{b}{2}) - \frac{M}{4}(\frac{3b}{4})}{M - \frac{M}{4}} = \frac{5b}{12}$.अतः,निर्देशांक $\left( \frac{5a}{12}, \frac{5b}{12} ight)$ हैं।

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चित्र में दर्शाए गए वृत्ताकार प्लेट के सेक्टर का द्रव्यमान केंद्र $y_{CM} =$ पर है।

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