mathop {lim }limits_{x to - 1} frac{{sqrt pi | vedclass

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Question

(B) माना ${\cos ^{ - 1}}x = y$ है। जब $x 	o - 1$,तब $y 	o \pi$। अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{y 	o \pi } \frac{{\sqrt \pi - \sqrt y }}{{\sqrt {

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$\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}$

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(B) माना ${\cos ^{ - 1}}x = y$ है। जब $x 	o - 1$,तब $y 	o \pi$। अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{y 	o \pi } \frac{{\sqrt \pi - \sqrt y }}{{\sqrt {1 + \cos y} }}$ हो जाती है। सर्वसमिका $1 + \cos y = 2 \cos^2(y/2)$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{1 + \cos y} = \sqrt{2} \cos(y/2)$। अब,$\cos(y/2) = \sin(\pi/2 - y/2)$। अतः सीमा $\mathop {\lim }\limits_{y 	o \pi } \frac{{\sqrt \pi - \sqrt y }}{{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi - y}{2})}}$ है। अंश और हर को $(\sqrt{\pi} + \sqrt{y})$ से गुणा करने पर और $\mathop {\lim }\limits_{	heta 	o 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$ का उपयोग करने पर: $= \mathop {\lim }\limits_{y 	o \pi } \frac{\pi - y}{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi - y}{2}) (\sqrt{\pi} + \sqrt{y})} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt \pi - \sqrt {{{\cos }^{ - 1}}x} }}{{\sqrt {x + 1} }}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{[{1^2}x + {1^2}] + [{2^2}x + {2^2}] + [{3^2}x + {3^2}] + \dots + [{n^2}x + {n^2}]}}{{{n^3}}}$ का मान ज्ञात कीजिए :- (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^2} - {a^2}}}{{x - a}} = $

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