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Question

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने प

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$\frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने पर,जहाँ $b$ एक पूर्णांक है,हमें $[k^2 x + k^2] = [k^2 x] + k^2$ प्राप्त होता है।अतः,$L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x]}}{n^3} + \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} k^2}}{n^3}$ है।प्रथम भाग के लिए,स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करने पर,$\sum [k^2 x] \approx \sum k^2 x = x \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \approx \frac{x n^3}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum [k^2 x]}{n^3} = \frac{x}{3}$ है।दूसरे भाग के लिए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} = \frac{1}{3}$ है।इसलिए,$L = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{[{1^2}x + {1^2}] + [{2^2}x + {2^2}] + [{3^2}x + {3^2}] + \dots + [{n^2}x + {n^2}]}}{{{n^3}}}$ का मान ज्ञात कीजिए :- (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है)

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 - \frac{4}{{x - 1}}} \right)^{3x - 1}} = $

माना कि $p = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} (1 + \tan^2 \sqrt{x})^{\frac{1}{2x}}$,तो $\log p = $ . . .

$\lim _{y \rightarrow 1}\left(\frac{1}{y^2-1}-\frac{2}{y^4-1}\right)=$

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{2 x^2+x-3}$

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}$ का मान है

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