$\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)\right]^{2}+\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)\right]^{2}=$

ધારો કે $f:[0, 4\pi] \rightarrow [0, \pi]$ એ $f(x) = \cos^{-1}(\cos x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સમીકરણ $f(x) = \frac{10-x}{10}$ નું સમાધાન કરતા $x \in [0, 4\pi]$ બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x \in [0, 1]$ હોય,તો સમીકરણ $2[\cos^{-1}x] + 6[\text{sgn}(\sin x)] = 3$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે? (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે અને $\text{sgn}(x)$ એ $x$ નું ચિહ્ન વિધેય દર્શાવે છે)-

ધારો કે $f : R \to R$,$f(x) = \max\{|\tan^{-1}x|, \cot^{-1}x\}$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ વિધેય સતત અને વિકલનીય છે $\forall x \in R$.
$II.$ વિધેયનો વિસ્તાર $\left[ \frac{\pi}{4}, \pi \right]$ છે.
$III.$ $f(x)$ એ અનેક-એક અંતર્વ્યાપ્ત (many-one into) વિધેય છે.
સાચો વિકલ્પ ઓળખો.

જો $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$ હોય,તો $x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)$ ની કિંમત શોધો.

$x$ ના કેટલા ભિન્ન મૂલ્યો માટે સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ સાચું છે?