Number, Ranking and Time Sequence Test Questions in Gujarati

(D) કોડ $4$ નો અર્થ 'બેસી જવું' થાય છે.
આપણે આપેલી શ્રેણીમાં અંક $4$ કેટલી વાર આવે છે તે ગણવાની જરૂર છે:
શ્રેણી: $1, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 2, 4, 3, 1, 4, 4, 1, 2$
$4$ ના સ્થાનને ઓળખતા:
$1, 2, 3, \mathbf{4}, 2, 3, 1, \mathbf{4}, \mathbf{4}, 3, 2, 2, 1, 2, \mathbf{4}, 3, 1, \mathbf{4}, \mathbf{4}, 1, 2$
ગણતરી કરતા:
$1$ લી વાર: $4$ (ચોથા સ્થાને)
$2$ જી વાર: $4$ (આઠમા સ્થાને)
$3$ જી વાર: $4$ (નવમા સ્થાને)
$4$ થી વાર: $4$ (પંદરમા સ્થાને)
$5$ મી વાર: $4$ (અઢારમા સ્થાને)
$6$ ઠી વાર: $4$ (ઓગણીસમા સ્થાને)
કુલ સંખ્યા = $6$ થાય છે.

(D) $1$ થી $45$ સુધીની સંખ્યાઓ જે $3$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે તે $3$ ના ગુણકો છે.
આ સંખ્યાઓનો ચડતો ક્રમ આ મુજબ છે: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45$.
ઉપરથી નવમી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીના પદો ગણીએ:
$1^{st}: 3$
$2^{nd}: 6$
$3^{rd}: 9$
$4^{th}: 12$
$5^{th}: 15$
$6^{th}: 18$
$7^{th}: 21$
$8^{th}: 24$
$9^{th}: 27$
આમ,ઉપરથી નવમી સંખ્યા $27$ છે.

(D) $5$ થી $85$ સુધીની $5$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ છે: $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85$.
આ સંખ્યાઓને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $85, 80, 75, 70, 65, 60, 55, 50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5$.
નીચેથી (સૌથી નાની સંખ્યાથી) ગણતરી કરતા,$1$લી $5$,$2$જી $10$,$3$જી $15$,$4$થી $20$,$5$મી $25$,$6$ઠ્ઠી $30$,$7$મી $35$,$8$મી $40$,$9$મી $45$,$10$મી $50$ અને $11$મી $55$ છે.
તેથી,નીચેથી અગિયારમી સંખ્યા $55$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$1$ થી $100$ સુધીની એવી સંખ્યાઓની યાદી બનાવો જે $4$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે: $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100$.
ત્યારબાદ,આ સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યામાં $4$ અંક આવે છે તે શોધો:
- $4$ ($4$ અંક ધરાવે છે)
- $24$ ($4$ અંક ધરાવે છે)
- $40$ ($4$ અંક ધરાવે છે)
- $44$ ($4$ અંક ધરાવે છે)
- $48$ ($4$ અંક ધરાવે છે)
- $64$ ($4$ અંક ધરાવે છે)
- $84$ ($4$ અંક ધરાવે છે)
આમ,કુલ $7$ સંખ્યાઓ મળે છે.

(D) કોઈપણ સંખ્યા $9$ વડે ત્યારે જ વિભાજ્ય હોય જો તે $9$ નો ગુણક હોય. $9$ થી $54$ ની વચ્ચે $9$ ના ગુણકો $9, 18, 27, 36, 45, 54$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય તે $3$ વડે પણ વિભાજ્ય જ હોય,કારણ કે $9 = 3 \times 3$.
તેથી,એવી કોઈ સંખ્યા હોવી અશક્ય છે જે $9$ વડે વિભાજ્ય હોય અને $3$ વડે ન હોય.
આમ,આવી સંખ્યાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$11$ થી $50$ સુધીની એવી તમામ સંખ્યાઓ શોધો જે $7$ વડે વિભાજ્ય હોય: $14, 21, 28, 35, 42, 49$.
ત્યારબાદ,આ સંખ્યાઓમાંથી કઈ સંખ્યા $3$ વડે પણ વિભાજ્ય છે તે તપાસો: $21$ $(7 \times 3)$ અને $42$ $(14 \times 3)$.
આ સંખ્યાઓને યાદીમાંથી બાદ કરો.
બાકી રહેલી સંખ્યાઓ $14, 28, 35, 49$ છે.
આમ,આવી કુલ $4$ સંખ્યાઓ છે.

(C) પ્રથમ શરત મુજબ,સંખ્યા $3$ કરતા મોટી અને $8$ કરતા નાની છે. આવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સમૂહ ${4, 5, 6, 7}$ છે.
બીજી શરત મુજબ,સંખ્યા $6$ કરતા મોટી અને $10$ કરતા નાની છે. આવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સમૂહ ${7, 8, 9}$ છે.
આપેલી સંખ્યાએ બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરવું જોઈએ.
બંને સમૂહોનો છેદ ${4, 5, 6, 7} \cap {7, 8, 9}$ લેતા આપણને ${7}$ મળે છે.
તેથી,તે સંખ્યા $7$ છે.

(B) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = (ઉપરથી ક્રમ) + (નીચેથી ક્રમ) - $1$
આપેલ છે:
ઉપરથી ક્રમ = $9$
નીચેથી ક્રમ = $38$
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $9 + 38 - 1$
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $47 - 1 = 46$
તેથી,વર્ગમાં કુલ $46$ વિદ્યાર્થીઓ છે.

(D) ધારો કે મોનિકાનું ડાબી બાજુથી શરૂઆતનું સ્થાન $x$ છે.
જ્યારે તેને જમણી તરફ $4$ સ્થાન ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ડાબી બાજુથી તેનું નવું સ્થાન $x + 4$ થાય છે.
આપેલ છે કે તેનું નવું સ્થાન ડાબી બાજુથી $12$ મું છે.
તેથી, $x + 4 = 12$, જેનો અર્થ છે $x = 8$.
આમ, મોનિકાનું શરૂઆતનું સ્થાન ડાબી બાજુથી $8$ મું હતું.
જમણી બાજુથી તેનું સ્થાન શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{જમણી બાજુથી સ્થાન} = (\text{કુલ છોકરીઓની સંખ્યા} - \text{ડાબી બાજુથી સ્થાન}) + 1$.
$\text{જમણી બાજુથી સ્થાન} = (21 - 8) + 1 = 13 + 1 = 14$.
તેથી, જમણા છેડેથી તેનું અગાઉનું સ્થાન $14$ મું હતું.

(C) શરૂઆતમાં,દીપક ડાબેથી $7$મો છે અને મધુ જમણેથી $12$મી છે.
સ્થાનની અદલાબદલી કર્યા પછી,દીપક ડાબેથી $22$મો બને છે.
કારણ કે દીપક હવે તે સ્થાને છે જ્યાં મધુ પહેલા હતી (જે જમણેથી $12$મી છે),આપણે જાણીએ છીએ કે તે જ છોકરાનું સ્થાન બંને છેડાથી શું છે.
છોકરાઓની કુલ સંખ્યા = (ડાબેથી સ્થાન + જમણેથી સ્થાન) - $1$.
છોકરાઓની કુલ સંખ્યા = $(22 + 12) - 1 = 34 - 1 = 33$ છોકરાઓ.

(B) ધારો કે વૃક્ષનું સ્થાન $P$ છે.
વૃક્ષ ડાબી બાજુથી $5$મા ક્રમે હોવાથી,તેની ડાબી બાજુએ $4$ વૃક્ષો છે.
વૃક્ષ જમણી બાજુથી $5$મા ક્રમે હોવાથી,તેની જમણી બાજુએ $4$ વૃક્ષો છે.
હારમાં કુલ વૃક્ષોની સંખ્યા = (ડાબી બાજુના વૃક્ષો) + (વૃક્ષ પોતે) + (જમણી બાજુના વૃક્ષો).
કુલ વૃક્ષોની સંખ્યા = $4 + 1 + 4 = 9$ વૃક્ષો.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: કુલ = (ડાબેથી સ્થાન) + (જમણેથી સ્થાન) - $1$.
કુલ = $5 + 5 - 1 = 9$ વૃક્ષો.

(C) લાઈનમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $50$.
અમૃતાનો આગળથી ક્રમ = $10^{th}$.
મુકુલનો પાછળથી ક્રમ = $25^{th}$.
અમૃતા અને મુકુલ વચ્ચે રહેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $50 - (10 + 25) = 50 - 35 = 15$.
મમતા આ $15$ વ્યક્તિઓની બરાબર વચ્ચે છે.
અમૃતાથી મમતાનું સ્થાન = $(15 + 1) / 2 = 8^{th}$ સ્થાન.
અમૃતા આગળથી $10^{th}$ ક્રમે હોવાથી,મમતાનો આગળથી ક્રમ = $10 + 8 = 18^{th}$.

(A) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Total} = (\text{ઉપરથી ક્રમ} + \text{નીચેથી ક્રમ}) - 1$.
અહીં આપેલ છે કે, રમનનો ઉપરથી ક્રમ $16$ છે અને નીચેથી ક્રમ $49$ છે.
તેથી, $\text{Total} = (16 + 49) - 1$.
$\text{Total} = 65 - 1 = 64$.
આમ, વર્ગમાં કુલ $64$ વિદ્યાર્થીઓ છે.

(A) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = (ઉપરથી ક્રમ) + (નીચેથી ક્રમ) - $1$
આપેલ છે:
ઉપરથી ક્રમ = $7$
નીચેથી ક્રમ = $28$
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $7 + 28 - 1$
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $35 - 1 = 34$
તેથી,વર્ગમાં કુલ $34$ વિદ્યાર્થીઓ છે.

(B) અતુલનું જમણી બાજુથી સ્થાન $12$મું છે, જેનો અર્થ છે કે તેની જમણી બાજુ $11$ છોકરાઓ છે.
અતુલનું ડાબી બાજુથી સ્થાન $4$થું છે, જેનો અર્થ છે કે તેની ડાબી બાજુ $3$ છોકરાઓ છે.
હારમાં છોકરાઓની કુલ સંખ્યા = $(\text{જમણી બાજુના છોકરાઓ} + \text{અતુલ} + \text{ડાબી બાજુના છોકરાઓ}) = (11 + 1 + 3) = 15$ છોકરાઓ.
હારમાં $28$ છોકરાઓ કરવા માટે, ઉમેરવા પડતા છોકરાઓની સંખ્યા = $28 - 15 = 13$.

(D) સૌ પ્રથમ,પરીક્ષામાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાની ગણતરી કરો.
પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = (ઉપરથી ક્રમ + નીચેથી ક્રમ - $1$)
પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $(16 + 29 - 1) = 44$.
હવે,વર્ગમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવા માટે ભાગ ન લેનારા અને નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા ઉમેરો.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = (પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓ) + (ભાગ ન લેનારા) + (નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓ)
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $44 + 6 + 5 = 55$.

(A) $P$ નું ડાબેથી સ્થાન $14$ મું છે.
$Q$ નું જમણેથી સ્થાન $7$ મું છે.
$P$ અને $Q$ ની વચ્ચે $4$ છોકરાઓ છે.
હરોળમાં કુલ છોકરાઓની સંખ્યા = ($P$ નું ડાબેથી સ્થાન) + ($P$ અને $Q$ ની વચ્ચેના છોકરાઓ) + ($Q$ નું જમણેથી સ્થાન).
કુલ છોકરાઓની સંખ્યા = $14 + 4 + 7 = 25$.

(C) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $46$ છે.
શરૂઆતથી અરુણાનો ક્રમ $12$ છે.
છેલ્લેથી ક્રમ શોધવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{છેલ્લેથી ક્રમ} = (\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ} - \text{શરૂઆતથી ક્રમ}) + 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{છેલ્લેથી ક્રમ} = (46 - 12) + 1 = 34 + 1 = 35$.
તેથી,અરુણાનો છેલ્લેથી ક્રમ $35$ છે.

(A) જ્યારે ઉપરથી ક્રમ અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા આપેલી હોય ત્યારે નીચેથી ક્રમ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{નીચેથી ક્રમ} = (\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ} - \text{ઉપરથી ક્રમ}) + 1$.
મનોજ માટે:
ઉપરથી ક્રમ = $7$
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $31$
નીચેથી ક્રમ = $(31 - 7) + 1 = 24 + 1 = 25^{th}$.
સચિન માટે:
ઉપરથી ક્રમ = $11$
કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $31$
નીચેથી ક્રમ = $(31 - 11) + 1 = 20 + 1 = 21^{st}$.
આમ,નીચેથી તેમનો અનુક્રમે ક્રમ $25^{th}$ અને $21^{st}$ છે.

(C) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 39$ છે.
સુમિતનો છેલ્લેથી ક્રમ $= 17$ મો છે.
રવિ સુમિત કરતાં $7$ ક્રમ આગળ છે, તેથી રવિનો છેલ્લેથી ક્રમ $= 17 + 7 = 24$ મો થાય.
રવિનો શરૂઆતથી ક્રમ શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{શરૂઆતથી ક્રમ} = (\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ} - \text{છેલ્લેથી ક્રમ}) + 1$.
$\text{રવિનો શરૂઆતથી ક્રમ} = (39 - 24) + 1 = 15 + 1 = 16$ મો.

(C) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે. તો છોકરીઓની સંખ્યા $= 2x$ થાય.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= x + 2x = 60$, જેનો અર્થ છે કે $3x = 60$, તેથી $x = 20$.
આમ, છોકરાઓની સંખ્યા $20$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $40$ છે.
કમલનો ક્રમ ઉપરથી $17$ મો છે, જેનો અર્થ છે કે તેની આગળ $16$ વિદ્યાર્થીઓ છે.
તેની આગળ $9$ છોકરીઓ હોવાથી, તેની આગળ રહેલા છોકરાઓની સંખ્યા $16 - 9 = 7$ થાય.
કુલ છોકરાઓ $= 20$. કમલની પાછળ રહેલા છોકરાઓ $= (\text{કુલ છોકરાઓ}) - (\text{તેની આગળ રહેલા છોકરાઓ}) - (\text{કમલ પોતે, જો તે છોકરો હોય})$.
ધારો કે કમલ એક છોકરો છે: તેની પાછળ રહેલા છોકરાઓ $= 20 - 7 - 1 = 12$.

(B) હરોળમાં છોકરાઓની કુલ સંખ્યા = $10$.
ડાબી બાજુ $2$ સ્થાન ખસ્યા પછી, રોહિતનું નવું સ્થાન ડાબેથી $7th$ છે.
જમણા છેડેથી તેનું સ્થાન શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{જમણેથી સ્થાન} = (\text{કુલ} - \text{ડાબેથી સ્થાન}) + 1$.
$\text{જમણેથી સ્થાન} = (10 - 7) + 1 = 3 + 1 = 4th$ (જમણેથી).
તે આ સ્થાન પર પહોંચવા માટે ડાબી બાજુ $2$ સ્થાન ખસ્યો હતો, તેથી તેનું અગાઉનું સ્થાન વર્તમાન સ્થાનની જમણી બાજુએ $2$ સ્થાન હતું.
$\text{જમણેથી અગાઉનું સ્થાન} = 4 - 2 = 2nd$ (જમણા છેડેથી).

(A) લાઈનમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 48$.
વિજયનું આગળથી સ્થાન $= 14$ મું.
જેકનું પાછળથી સ્થાન $= 17$ મું.
વિજય અને જેકની વચ્ચે રહેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 48 - (14 + 17) = 48 - 31 = 17$.
મેરી વિજય અને જેકની બરાબર વચ્ચે હોવાથી,તે આ $17$ વ્યક્તિઓની વચ્ચેના મધ્ય સ્થાન પર છે.
વિજય અને મેરીની વચ્ચે રહેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= \frac{17 - 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ થાય.

(B) શરૂઆતમાં,રીટા જમણી બાજુથી $9$ મા સ્થાને છે અને મોનિકા ડાબી બાજુથી $10$ મા સ્થાને છે.
સ્થાનની અદલાબદલી કર્યા પછી,રીટા જમણી બાજુથી $17$ મા સ્થાને છે અને મોનિકા ડાબી બાજુથી $18$ મા સ્થાને છે.
રીટા મોનિકાનું મૂળ સ્થાન લે છે,તેથી જમણી બાજુથી તેનું નવું સ્થાન ($17$ મું) એ ડાબી બાજુથી મોનિકાના મૂળ સ્થાન ($10$ મા) ને અનુરૂપ છે.
હરોળમાં છોકરીઓની કુલ સંખ્યા = (ડાબી બાજુથી સ્થાન + જમણી બાજુથી સ્થાન - $1$) = $(10 + 17 - 1) = 26$.
વૈકલ્પિક રીતે,મોનિકાના નવા સ્થાનનો ઉપયોગ કરીને: કુલ = $(18 + 9 - 1) = 26$.

(D) શરૂઆતમાં, શિલ્પા ડાબેથી $8^{th}$ અને રીના જમણેથી $17^{th}$ ક્રમે છે.
સ્થાનની અદલાબદલી કર્યા પછી, શિલ્પા ડાબેથી $14^{th}$ ક્રમે આવે છે.
કારણ કે શિલ્પા હવે તે સ્થાન પર છે જે અગાઉ રીનાનું હતું, તેથી તેનું નવું સ્થાન ડાબેથી $14^{th}$ અને જમણેથી $17^{th}$ છે.
હરોળમાં છોકરીઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $(\text{ડાબેથી સ્થાન} + \text{જમણેથી સ્થાન} - 1)$.
કુલ છોકરીઓ = $(14 + 17 - 1) = 30$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાનો આ મુજબ છે: કશિશ ડાબેથી $5^{th}$ અને મોના જમણેથી $6^{th}$ ક્રમે છે.
સ્થાન અદલાબદલી કર્યા પછી,કશિશ ડાબેથી $13^{th}$ ક્રમે આવે છે.
કશિશ હવે તે સ્થાને છે જ્યાં મોના શરૂઆતમાં હતી,તેથી હરોળમાં બાળકોની કુલ સંખ્યા આ મુજબ મળે છે: $(\text{કશિશનું ડાબેથી નવું સ્થાન} + \text{મોનાનું જમણેથી મૂળ સ્થાન} - 1) = (13 + 6 - 1) = 18$.
હવે,આપણે જમણેથી મોનાનું નવું સ્થાન શોધવાનું છે. મોના હવે તે સ્થાને છે જ્યાં કશિશ શરૂઆતમાં હતી ($5^{th}$ ડાબેથી).
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{જમણેથી સ્થાન} = (\text{કુલ બાળકો} - \text{ડાબેથી સ્થાન} + 1)$.
જમણેથી મોનાનું નવું સ્થાન = $(18 - 5 + 1) = 14^{th}$.

(B) ધારો કે છોકરાઓની કુલ સંખ્યા $N$ છે.
શરૂઆતમાં,કપિલ જમણી બાજુથી $8^{th}$ અને નિકુંજ ડાબી બાજુથી $12^{th}$ ક્રમે છે.
સ્થાનની અદલાબદલી કર્યા પછી,નિકુંજ તે સ્થાને છે જે અગાઉ કપિલનું હતું,એટલે કે ડાબી બાજુથી $21^{st}$ ક્રમે.
આ સ્થાન જમણી બાજુથી $8^{th}$ ક્રમે હોવાથી,છોકરાઓની કુલ સંખ્યા $N = (\text{ડાબી બાજુથી સ્થાન} + \text{જમણી બાજુથી સ્થાન} - 1) = (21 + 8 - 1) = 28$ થાય.
હવે,કપિલ તે સ્થાને છે જે અગાઉ નિકુંજનું હતું,એટલે કે ડાબી બાજુથી $12^{th}$ ક્રમે.
કપિલની જમણી બાજુથી સ્થિતિ = $(N - \text{ડાબી બાજુથી સ્થાન} + 1) = (28 - 12 + 1) = 17^{th}$.

(C) વ્યક્તિઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે એવી ગોઠવણી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેમાં સ્થાનો શક્ય તેટલા ઓવરલેપ થાય.
આપેલ છે: $C$ ની આગળ $3$ વ્યક્તિઓ, $B$ અને $C$ ની વચ્ચે $8$ વ્યક્તિઓ, $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $5$ વ્યક્તિઓ, અને $A$ ની પાછળ $21$ વ્યક્તિઓ.
કિસ્સો $I$: ક્રમ $C, B, A$. કુલ $= 3 (\text{C ની આગળ}) + 1 (C) + 8 (\text{C, B ની વચ્ચે}) + 1 (B) + 5 (\text{B, A ની વચ્ચે}) + 1 (A) + 21 (\text{A ની પાછળ}) = 40$.
કિસ્સો $II$: ક્રમ $C, A, B$. $B$ અને $C$ ની વચ્ચે $8$ વ્યક્તિઓ અને $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $5$ વ્યક્તિઓ હોવાથી, $A$ અને $C$ ની વચ્ચેની વ્યક્તિઓની સંખ્યા $8 - 5 - 1 = 2$ થાય. કુલ $= 3 (\text{C ની આગળ}) + 1 (C) + 2 (\text{C, A ની વચ્ચે}) + 1 (A) + 21 (\text{A ની પાછળ}) = 28$.
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા, વ્યક્તિઓની ન્યૂનતમ સંખ્યા $28$ છે.

(B) સતીશના જણાવ્યા મુજબ,ભાઈનો જન્મદિવસ $15$ અને $18$ ફેબ્રુઆરીની વચ્ચેના દિવસોમાં છે,જે $16$ અને $17$ ફેબ્રુઆરી છે.
કાજલના જણાવ્યા મુજબ,ભાઈનો જન્મદિવસ $16$ અને $19$ ફેબ્રુઆરીની વચ્ચેના દિવસોમાં છે,જે $17$ અને $18$ ફેબ્રુઆરી છે.
સામાન્ય તારીખ શોધવા માટે,આપણે બંને સમૂહોમાં રહેલા દિવસને જોઈએ છીએ: {$16, 17$} અને {$17, 18$}.
બંનેમાં સામાન્ય દિવસ $17$ ફેબ્રુઆરી છે.
તેથી,ભાઈનો જન્મદિવસ $17$ ફેબ્રુઆરીના રોજ છે.

(D) બસ દર $30$ મિનિટે ઉપડે છે.
આગામી બસ સવારે $9:35$ વાગ્યે ઉપડવાની છે.
તેથી,અગાઉની બસ $9:35 \,a.m. - 30 \,minutes = 9:05 \,a.m.$ વાગ્યે ઉપડી હશે.
ક્લાર્કે જણાવ્યું કે બસ $10$ મિનિટ પહેલા ઉપડી ગઈ છે.
આમ,જે સમયે માહિતી આપવામાં આવી હતી તે સમય $9:05 \,a.m. + 10 \,minutes = 9:15 \,a.m.$ છે.

(A) આપેલ છે કે મહિનાનો $7^{th}$ દિવસ શુક્રવાર કરતાં $3$ દિવસ વહેલો છે.
શુક્રવારથી $3$ દિવસ પાછળ ગણતા: ગુરુવાર ($1^{st}$ દિવસ પાછળ),બુધવાર ($2^{nd}$ દિવસ પાછળ),મંગળવાર ($3^{rd}$ દિવસ પાછળ).
તેથી,$7^{th}$ દિવસ મંગળવાર છે.
જેમ કે $7^{th}$ દિવસ મંગળવાર છે,તેથી $14^{th}$ દિવસ $(7+7)$ પણ મંગળવાર જ હશે.
$14^{th}$ દિવસથી $19^{th}$ દિવસ સુધી આગળ ગણતા: $15^{th}$ બુધવાર,$16^{th}$ ગુરુવાર,$17^{th}$ શુક્રવાર,$18^{th}$ શનિવાર અને $19^{th}$ રવિવાર થાય.
તેથી,મહિનાનો $19^{th}$ દિવસ રવિવાર છે.

(D) $17$ ડિસેમ્બર $1982$ થી $17$ ડિસેમ્બર $1983$ સુધીના કુલ દિવસો $365$ છે. $365 = 52 \times 7 + 1$ હોવાથી,$1$ વધારાનો દિવસ મળે છે. તેથી,$17$ ડિસેમ્બર $1983$ ના રોજ શનિવાર $+ 1 = \text{રવિવાર}$ હશે.
$17$ ડિસેમ્બર $1983$ થી $17$ ડિસેમ્બર $1984$ સુધીના સમયગાળામાં $1984$ એ લિપ વર્ષ છે ($366$ દિવસ). $366 = 52 \times 7 + 2$ હોવાથી,$2$ વધારાના દિવસો મળે છે. તેથી,$17$ ડિસેમ્બર $1984$ ના રોજ રવિવાર $+ 2 = \text{મંગળવાર}$ હશે.
હવે,આપણે $22$ ડિસેમ્બર $1984$ નો વાર શોધવાનો છે. $17$ ડિસેમ્બર અને $22$ ડિસેમ્બર વચ્ચેનો તફાવત $22 - 17 = 5$ દિવસ છે.
મંગળવારમાં $5$ દિવસ ઉમેરતા: $\text{મંગળવાર} + 5 = \text{રવિવાર}$.

(B) કૈલાશના જણાવ્યા મુજબ,દીપકનો જન્મદિવસ $20$ મે અને $28$ મેની વચ્ચે આવે છે,જેનો અર્થ છે કે સંભવિત તારીખો $21, 22, 23, 24, 25, 26$ અને $27$ મે છે.
ગીતાના જણાવ્યા મુજબ,દીપકનો જન્મદિવસ $12$ મે અને $22$ મેની વચ્ચે આવે છે,જેનો અર્થ છે કે સંભવિત તારીખો $13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$ અને $21$ મે છે.
બંને સમૂહોમાં સામાન્ય તારીખ $21$ મે છે.
તેથી,દીપકનો જન્મદિવસ $21$ મેના રોજ આવે છે.

(D) સંગીતાના જણાવ્યા મુજબ,પિતાનો જન્મદિવસ $8$ અને $13$ ડિસેમ્બરની વચ્ચે આવે છે,એટલે કે શક્ય તારીખો $9, 10, 11, 12$ ડિસેમ્બર છે.
નતાશાના જણાવ્યા મુજબ,પિતાનો જન્મદિવસ $9$ અને $14$ ડિસેમ્બરની વચ્ચે આવે છે,એટલે કે શક્ય તારીખો $10, 11, 12, 13$ ડિસેમ્બર છે.
બંને જૂથોમાં સામાન્ય તારીખો $10, 11, 12$ ડિસેમ્બર છે.
અહીં કોઈ એક ચોક્કસ તારીખ મળતી ન હોવાથી,જન્મદિવસ નક્કી કરવા માટે આપેલી માહિતી અપૂરતી છે.

(C) અમિતના મતે,અંતર $d$ એ $10 < d < 15$ છે.
સુનિતાના મતે,અંતર $d$ એ $12 < d < 14$ છે.
બંને શરતો સંતોષવા માટે,અંતર આ બે અંતરાલોના છેદગણમાં હોવું જોઈએ.
$(10, 15)$ અને $(12, 14)$ નો છેદગણ $(12, 14)$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $13 \ km$ એ $(12, 14)$ ની શ્રેણીમાં આવે છે.

(B) આશિષ સવારે $6:40 \text{ a.m.}$ વાગ્યે તેના ઘરેથી નીકળે છે (કારણ કે $7$ વાગવામાં $20 \text{ મિનિટ}$ બાકી એટલે $6:40$).
તે $25 \text{ મિનિટમાં}$ કુણાલના ઘરે પહોંચે છે,એટલે કે $6:40 + 25 \text{ મિનિટ} = 7:05 \text{ a.m.}$
તેઓ બીજી $15 \text{ મિનિટમાં}$ નાસ્તો પૂર્ણ કરે છે,તેથી તેઓ કુણાલના ઘરેથી $7:05 + 15 \text{ મિનિટ} = 7:20 \text{ a.m.}$ વાગ્યે નીકળે છે.

(B) અજય $8:40 \,a.m.$ વાગ્યે બસ સ્ટોપ પર પહોંચ્યો.
સ્ટોપ પર પહોંચતા તેને $10 \,minutes$ લાગે છે,તેથી તે $8:40 \,a.m. - 10 \,minutes = 8:30 \,a.m.$ વાગ્યે ઘરેથી નીકળ્યો હતો.
તે તેના સામાન્ય સમય કરતાં $15 \,minutes$ વહેલો નીકળ્યો હતો.
તેથી,તેનો ઘરેથી નીકળવાનો સામાન્ય સમય $8:30 \,a.m. + 15 \,minutes = 8:45 \,a.m.$ છે.

(B) અનુજ મીટિંગના સ્થળે $08:30 \,hours$ ના $15 \,minutes$ પહેલા પહોંચ્યો,એટલે કે તે $08:15 \,hours$ એ પહોંચ્યો.
અનુજ $40 \,minutes$ મોડા આવનાર વ્યક્તિ કરતા $30 \,minutes$ (અડધો કલાક) વહેલો પહોંચ્યો હતો.
આનો અર્થ એ છે કે જે વ્યક્તિ મોડી હતી તે $08:15 \,hours + 30 \,minutes = 08:45 \,hours$ એ પહોંચી.
તે વ્યક્તિ $40 \,minutes$ મોડી હોવાથી,મીટિંગનો નિર્ધારિત સમય $08:45 \,hours - 40 \,minutes = 08:05 \,hours$ હતો.

(B) આગામી ઘંટ $7:45 \, \text{a.m.}$ વાગ્યે વાગવાનો છે.
ઘંટ $45 \, \text{મિનિટના}$ નિયમિત અંતરે વાગતા હોવાથી, અગાઉનો ઘંટ $7:45 \, \text{a.m.} - 45 \, \text{મિનિટ} = 7:00 \, \text{a.m.}$ વાગ્યે વાગ્યો હશે.
પૂજારીએ જણાવ્યું કે છેલ્લો ઘંટ $5 \, \text{મિનિટ}$ પહેલા વાગ્યો હતો.
તેથી, પૂજારીએ આ માહિતી $7:00 \, \text{a.m.} + 5 \, \text{મિનિટ} = 7:05 \, \text{a.m.}$ વાગ્યે આપી હશે.

(D) બે ક્રમિક ટ્રેનો વચ્ચેનો સમયગાળો $2 \,hours \,30 \,minutes$ $(2.5 \,hours)$ છે.
આગામી ટ્રેન $18:00 \,hrs$ વાગ્યે ઉપડવાની છે.
તેથી,અગાઉની ટ્રેન $18:00 - 2:30 = 15:30 \,hrs$ વાગ્યે ઉપડી હશે.
જાહેરાતમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે ટ્રેન $40 \,minutes$ પહેલા ઉપડી ગઈ છે.
આમ,જાહેરાતનો સમય $15:30 + 40 \,minutes = 16:10 \,hrs$ છે.

(C) ડેસ્ક ઓફિસરે શુક્રવારે અરજીનો નિકાલ કર્યો.
ડેસ્ક ઓફિસરને તે જ દિવસે અરજી મળી હતી જે દિવસે સિનિયર ક્લાર્કે તે રજૂ કરી હતી,તેથી સિનિયર ક્લાર્કે તે શુક્રવારે રજૂ કરી હશે.
સિનિયર ક્લાર્ક તેની અગાઉના દિવસે રજા પર હતા,જે ગુરુવાર હતો.
ઇનવર્ડ ક્લાર્કે સિનિયર ક્લાર્કની રજાના દિવસે એટલે કે ગુરુવારે અરજી મોકલી હતી.
તેથી,ઇનવર્ડ ક્લાર્કને અરજી તેની અગાઉના દિવસે એટલે કે બુધવારે મળી હશે.

(B) કમ્પ્યુટરનો સૌથી વધુ ઉપયોગ ક્યારે થશે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તે સમયગાળો શોધવો જોઈએ જેમાં સૌથી વધુ કર્મચારીઓ એકસાથે હાજર હોય.
જૂથ $1$ ($5$ લોકો): $8:00 \,A.M. - 2:00 \,P.M.$
જૂથ $2$ ($10$ લોકો): $10:00 \,A.M. - 4:00 \,P.M.$
જૂથ $3$ ($5$ લોકો): $12 \,noon - 6:00 \,P.M.$
$12$ બપોરે થી $2:00 \,P.M.$ ની વચ્ચે,ત્રણેય જૂથો ઓફિસમાં હાજર હોય છે ($5 + 10 + 5 = 20$ લોકો). તેથી,આ સમયગાળા દરમિયાન $3$ કમ્પ્યુટરની માંગ સૌથી વધુ હોય છે.

(C) વાંદરો કલાકના પ્રથમ ભાગમાં $30$ ફૂટ ચઢે છે અને $20$ ફૂટ લપસી જાય છે,પરિણામે પ્રતિ કલાક $10$ ફૂટનું ચોખ્ખું અંતર કપાય છે.
$120$ ફૂટ સુધી પહોંચવા માટે,આપણે અંતિમ કૂદકાને ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ. છેલ્લા કલાકમાં,વાંદરો $30$ ફૂટ ચઢશે અને લપસ્યા વગર લક્ષ્ય સુધી પહોંચી જશે.
તેથી,વાંદરાએ પહેલા $120 - 30 = 90$ ફૂટ સુધી પહોંચવું જરૂરી છે.
$10$ ફૂટ પ્રતિ કલાકના દરે,$90$ ફૂટ સુધી પહોંચવા માટે $9$ કલાક લાગે છે.
સવારે $8:00$ વાગ્યાથી શરૂ કરીને,$9$ કલાક પછીનો સમય $5:00 \, p.m.$ થાય છે.
આગામી કલાકમાં ($5:00 \, p.m.$ થી $6:00 \, p.m.$ સુધી),વાંદરો $30$ ફૂટ ચઢશે અને $90 + 30 = 120$ ફૂટ પર પહોંચશે.
આમ,વાંદરો સાંજે $6:00$ વાગ્યે ધ્વજને સ્પર્શશે.

(A) ચાલો દરેક ભાઈની ઉપલબ્ધતાનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1.$ કમલ: મંગળવાર,ગુરુવાર,રવિવાર (બપોરે $12$ થી $4$)
$2.$ નવીન: સોમવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,રવિવાર (સવારે $10$ થી બપોરે $2$)
$3.$ રાજીવ: સોમવાર,બુધવાર,ગુરુવાર (સવારે $9$ થી બપોરે $12$) અને શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર (બપોરે $2$ થી $4$)
હવે,સામાન્ય દિવસો તપાસીએ:
- ગુરુવારે: કમલ (બપોરે $12$ થી $4$),નવીન (સવારે $10$ થી બપોરે $2$),અને રાજીવ (સવારે $9$ થી બપોરે $12$) ઉપલબ્ધ છે. ત્રણેય માટે કોઈ સામાન્ય સમય નથી.
- રવિવારે: કમલ (બપોરે $12$ થી $4$),નવીન (સવારે $10$ થી બપોરે $2$),અને રાજીવ (બપોરે $2$ થી $4$) ઉપલબ્ધ છે. અહીં પણ ત્રણેય માટે કોઈ સામાન્ય સમય નથી.
તેથી,એવો કોઈ દિવસ નથી જ્યારે ત્રણેય ભાઈઓ એકસાથે ઘરે ઉપલબ્ધ હોય.

(D) કયા દિવસે માત્ર એક જ ભાઈ ઉપલબ્ધ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક દિવસનું સમયપત્રક તપાસીએ:
$1$. સોમવાર: નવીન $(10 \,a.m. - 2 \,p.m.)$ અને રાજીવ $(9 \,a.m. - 12 \,noon)$. બંને સવારે $10$ થી $12$ વચ્ચે ઉપલબ્ધ છે. અન્ય સમયે માત્ર એક જ ઉપલબ્ધ છે.
$2$. મંગળવાર: માત્ર કમલ $(12 \,noon - 4 \,p.m.)$.
$3$. બુધવાર: માત્ર રાજીવ $(9 \,a.m. - 12 \,noon)$.
$4$. ગુરુવાર: કમલ,નવીન અને રાજીવ ત્રણેય ઉપલબ્ધ છે,તેથી ઓવરલેપ થાય છે.
$5$. શુક્રવાર: નવીન $(10 \,a.m. - 2 \,p.m.)$ અને રાજીવ $(2 \,p.m. - 4 \,p.m.)$. કોઈ ઓવરલેપ નથી.
$6$. શનિવાર: માત્ર રાજીવ $(2 \,p.m. - 4 \,p.m.)$.
$7$. રવિવાર: કમલ,નવીન અને રાજીવ ત્રણેય ઉપલબ્ધ છે,તેથી ઓવરલેપ થાય છે.
આમ,અઠવાડિયાના તમામ $7$ દિવસોમાં એવા ચોક્કસ સમયગાળા છે જ્યારે માત્ર એક જ ભાઈ ઘરે હાજર હોય છે.

(D) સૌથી નાનો ભાઈ (નવીન) અને સૌથી મોટો ભાઈ (રાજીવ) ક્યારે એક જ સમયે ઉપલબ્ધ છે તે જાણવા માટે,આપણે તેમના સમયપત્રકની સરખામણી કરીએ છીએ:
નવીનની ઉપલબ્ધતા: સોમવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,રવિવાર (સવારે $10$ થી બપોરે $2$)
રાજીવની ઉપલબ્ધતા: સોમવાર,બુધવાર,ગુરુવાર (સવારે $9$ થી બપોરે $12$) અને શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર (બપોરે $2$ થી $4$)
બંનેની સરખામણી કરતા:
$1$. સોમવારે: નવીન ઉપલબ્ધ છે (સવારે $10$ થી બપોરે $2$) અને રાજીવ ઉપલબ્ધ છે (સવારે $9$ થી બપોરે $12$). તેઓ સવારે $10$ થી બપોરે $12$ ની વચ્ચે એકસાથે ઉપલબ્ધ છે.
$2$. ગુરુવારે: નવીન ઉપલબ્ધ છે (સવારે $10$ થી બપોરે $2$) અને રાજીવ ઉપલબ્ધ છે (સવારે $9$ થી બપોરે $12$). તેઓ સવારે $10$ થી બપોરે $12$ ની વચ્ચે એકસાથે ઉપલબ્ધ છે.
$3$. શુક્રવાર અને રવિવારે: નવીન ઉપલબ્ધ છે (સવારે $10$ થી બપોરે $2$) પરંતુ રાજીવ ફક્ત બપોરે $2$ થી $4$ વાગ્યા સુધી જ ઉપલબ્ધ છે,તેથી કોઈ ઓવરલેપ નથી.
તેથી,તેઓ સોમવાર અને ગુરુવાર બંને દિવસે એક જ સમયે ઘરે ઉપલબ્ધ છે.

(C) જો ગઈકાલના આગલા દિવસે ગુરુવાર હતો,તો તેનો અર્થ એ કે ગઈકાલે શુક્રવાર હતો અને આજે શનિવાર છે.
આજે શનિવાર હોવાથી,આવતીકાલે રવિવાર હશે.

(C) જો ગઈકાલના આગલા દિવસે શનિવાર હતો,તો તેનો અર્થ એ કે ગઈકાલે રવિવાર હતો અને આજે સોમવાર છે.
આજે સોમવાર હોવાથી,આવતીકાલે મંગળવાર હશે.
તેથી,આવતીકાલના પછીના દિવસે બુધવાર આવશે.

(B) મોહિની $9$ દિવસ પહેલા મૂવી જોવા ગઈ હતી અને તે ફક્ત ગુરુવારે જ જાય છે.
તેથી,$9$ દિવસ પહેલા ગુરુવાર હતો.
આજનો દિવસ શોધવા માટે,આપણે $9 \pmod 7 = 2$ ગણીએ છીએ.
આનો અર્થ એ છે કે $9$ દિવસ એટલે $1$ અઠવાડિયું અને $2$ દિવસ.
ગુરુવારથી $2$ દિવસ આગળ ગણતા (શુક્રવાર,શનિવાર),આપણને મળે છે કે આજે શનિવાર છે.

(C) આપેલ છે કે મહિનાનો $3$ જો દિવસ સોમવાર છે.
દિવસો દર $7$ દિવસે પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી $3 + 7 = 10$ મી તારીખ પણ સોમવાર હશે.
તે જ રીતે,$10 + 7 = 17$ મી તારીખ પણ સોમવાર હશે.
જો $17$ મી તારીખે સોમવાર હોય,તો $18$ મી મંગળવાર,$19$ મી બુધવાર,$20$ મી ગુરુવાર અને $21$ મી શુક્રવાર હશે.
$21$ મી તારીખથી પાંચમો દિવસ એટલે $21 + 5 = 26$ મી તારીખ.
$21$ મી તારીખે શુક્રવાર હોવાથી,આપણે $5$ દિવસ આગળ ગણીએ: $22$ મી (શનિવાર),$23$ મી (રવિવાર),$24$ મી (સોમવાર),$25$ મી (મંગળવાર) અને $26$ મી (બુધવાર).
તેથી,$21$ મી તારીખથી પાંચમો દિવસ બુધવાર છે.