Number, Ranking and Time Sequence Test Questions in Gujarati

(B) આપેલ શરતોને સંતોષતા $7$ ની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીનું નિરીક્ષણ કરીએ:
$7, 4, 2, 7, 8, 4, 3, 6, 7, 5, 3, 5, 7, 8, 4, 3, 7, 6, 7, 2, 4, 0, 6, 7, 4, 3$
$1$. શ્રેણીમાં રહેલા તમામ $7$ ને ઓળખો.
$2$. દરેક $7$ ની આગળનો અંક $6$ છે કે નહીં તે તપાસો.
$3$. દરેક $7$ ની પાછળનો અંક $4$ નથી તે તપાસો.
- પ્રથમ $7$ જેની આગળ $6$ છે તે $9$ મા સ્થાને છે: $6, 7, 5$. અહીં,$7$ ની આગળ $6$ છે અને પાછળ $5$ છે ($4$ નથી). આ શરત સંતોષાય છે.
- બીજો $7$ જેની આગળ $6$ છે તે $19$ મા સ્થાને છે: $6, 7, 2$. અહીં,$7$ ની આગળ $6$ છે અને પાછળ $2$ છે ($4$ નથી). આ શરત સંતોષાય છે.
- ત્રીજો $7$ જેની આગળ $6$ છે તે $24$ મા સ્થાને છે: $6, 7, 4$. અહીં,$7$ ની આગળ $6$ છે પણ પાછળ $4$ છે. આ શરત સંતોષાતી નથી.
આમ,આવા કુલ $2$ અંક $7$ છે.

(A) એવા $18$ ની સંખ્યા શોધવા માટે જેની તરત પહેલા $9$ હોય અને તરત પછી $7$ ન હોય,આપણે $9, 1, 8, X$ પેટર્ન શોધીએ છીએ,જ્યાં $X \neq 7$.
$1$. શ્રેણી તપાસો: $7, 1, 9, 1, 1, 7, 1, 8, 9, 1, 7, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 5, 7, 1, 3, 9, 1, 7$.
$2$. શ્રેણીમાં $18$ ના તમામ ઉદાહરણો ઓળખો: શ્રેણીમાં માત્ર એક જ $8$ છે જે $8$મા સ્થાને છે,જેની પહેલા $1$ છે,$9$ નથી.
$3$. $9, 1, 8$ પેટર્ન માટે શ્રેણીનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: શ્રેણીમાં એવું કોઈ ઉદાહરણ નથી જ્યાં $18$ ની પહેલા $9$ હોય.
$4$. આપેલી શ્રેણીમાં $9, 1, 8$ ની કોઈ ઘટના ન હોવાથી,કુલ સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપણે આપેલી શ્રેણીમાં $9, 1, 8$ અથવા $8, 1, 9$ ની પેટર્ન કેટલી વાર આવે છે તે શોધવાનું છે.
શ્રેણી છે: $2, 1, 9, 8, 1, 9, 8, 3, 7, 1, 9, 7, 8, 1, 2, 9, 1, 9, 8, 1, 8, 2, 1, 2$.
શ્રેણી તપાસતા:
- $9, 1, 8$ અથવા $8, 1, 9$ માટે તપાસ કરતા,આપણને શ્રેણીના અંતમાં $9, 1, 8$ મળે છે.
- આખી શ્રેણીમાં અન્ય કોઈ જગ્યાએ આ પેટર્ન જોવા મળતી નથી.
- તેથી,સાચો જવાબ $1$ છે.

(B) પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{કુલ પાસ} = (\text{ઉપરથી ક્રમ} + \text{નીચેથી ક્રમ}) - 1$.
આપેલ છે: ઉપરથી ક્રમ $= 13$, નીચેથી ક્રમ $= 26$.
પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= (13 + 26) - 1 = 39 - 1 = 38$.
આપેલ છે: નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 6$.
વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= \text{પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા} + \text{નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}$.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= 38 + 6 = 44$.

(A) જ્યારે કોઈ એક વ્યક્તિનું સ્થાન બંને છેડાઓથી આપેલું હોય ત્યારે હરોળમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા શોધવા માટે આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= (\text{આગળથી સ્થાન}) + (\text{પાછળથી સ્થાન}) - 1$
આપેલ છે:
આગળથી સ્થાન $= 12$
પાછળથી સ્થાન $= 47$
કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 12 + 47 - 1$
કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 59 - 1 = 58$
તેથી,હરોળમાં કુલ $58$ વ્યક્તિઓ છે.

(D) મેનેજિંગ ડિરેક્ટર $12:30$ ના $10 \, \text{મિનિટ}$ પહેલા રૂમમાં આવ્યા, જેનો અર્થ છે કે તેઓ $12:20$ વાગ્યે આવ્યા હતા.
તેઓ ચેરમેન કરતા $20 \, \text{મિનિટ}$ વહેલા આવ્યા હતા, તેથી ચેરમેન $12:20 + 20 \, \text{મિનિટ} = 12:40$ વાગ્યે આવ્યા હતા.
ચેરમેન ઇન્ટરવ્યુ માટે $30 \, \text{મિનિટ}$ મોડા હતા.
તેથી, ઇન્ટરવ્યુનો નિર્ધારિત સમય $12:40 - 30 \, \text{મિનિટ} = 12:10$ હતો.

(C) આપણે એવા $8$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જે બે શરતો પૂરી કરે છે:
$1$. $8$ ની તરત પહેલાનો અંક $7$ હોવો જોઈએ.
$2$. $8$ ની તરત પછીનો અંક $4$ ન હોવો જોઈએ.
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $2, 3, 8, 2, 5, 7, 8, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 8, 4, 3, 2, 7, 8, 9, 5, 7, 8, 1, 5, 2, 9$
- પ્રથમ $8$: પહેલા $3$ છે. (શરત $1$ પૂરી થતી નથી)
- બીજો $8$: પહેલા $7$ છે અને પછી $3$ છે. (બંને શરતો પૂરી થાય છે)
- ત્રીજો $8$: પહેલા $7$ છે અને પછી $4$ છે. (શરત $2$ પૂરી થતી નથી)
- ચોથો $8$: પહેલા $9$ છે. (શરત $1$ પૂરી થતી નથી)
- પાંચમો $8$: પહેલા $7$ છે અને પછી $9$ છે. (બંને શરતો પૂરી થાય છે)
- છઠ્ઠો $8$: પહેલા $7$ છે અને પછી $1$ છે. (બંને શરતો પૂરી થાય છે)
આમ,આવા કુલ $3$ આંકડા $8$ છે.

(B) એવા $3$ શોધવા માટે જેની તરત પહેલા $6$ હોય પરંતુ તરત પછી $7$ ન હોય,આપણે શ્રેણી તપાસીએ:
$2, 3, 7, 4, 3, 5, 6, 3, 7, 4, 6, 3, 8, 9, 6, 5, 1, 8, 3, 7, 2, 4, 2, 8, 6, 3, 9$
$1$. $6, 3, X$ પેટર્ન શોધો જ્યાં $X \neq 7$.
$2$. શ્રેણીમાં,આપણે $6, 3$ ના સ્થાન જોઈએ:
- $6, 3, 7$ (આ ગણતરીમાં લેવાશે નહીં કારણ કે તેની પછી $7$ છે)
- $6, 3, 8$ (આ ગણતરીમાં લેવાશે કારણ કે તેની પછી $8$ છે)
- $6, 3, 9$ (આ ગણતરીમાં લેવાશે કારણ કે તેની પછી $9$ છે)
આમ,આવા કુલ $2$ અંક $3$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$11$ થી $50$ ની વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ શોધો જે $7$ વડે વિભાજ્ય હોય.
આ શ્રેણીમાં $7$ ના ગુણકો છે: $14, 21, 28, 35, 42, 49$.
આવી કુલ $6$ સંખ્યાઓ છે.
હવે,આમાંથી કઈ સંખ્યાઓ $3$ વડે પણ વિભાજ્ય છે (એટલે કે $21$ ના ગુણકો) તે શોધો.
$7$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $21$ અને $42$ છે.
$7$ વડે વિભાજ્ય હોય પરંતુ $3$ વડે નહીં તેવી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,$7$ ના ગુણકોમાંથી સામાન્ય ગુણકોને બાદ કરો.
જરૂરી સંખ્યાઓ = ${14, 28, 35, 49}$.
તેથી,આવી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(A) $1$ થી $100$ સુધીની એવી સંખ્યાઓ શોધવા માટે જે $4$ વડે વિભાજ્ય હોય અને જેમાં $4$ અંક હોય,આપણે $100$ સુધીના $4$ ના ગુણકોની યાદી બનાવીએ: $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100$.
હવે,આપણે તે સંખ્યાઓ ઓળખીએ છીએ જેમાં $4$ અંક આવે છે:
$4$ ($4$ સમાવે છે)
$24$ ($4$ સમાવે છે)
$40$ ($4$ સમાવે છે)
$44$ ($4$ સમાવે છે)
$48$ ($4$ સમાવે છે)
$64$ ($4$ સમાવે છે)
$84$ ($4$ સમાવે છે)
આ સંખ્યાઓને ગણતા,આપણને આવી $7$ સંખ્યાઓ મળે છે.
તેથી,જરૂરી સંખ્યાઓ $7$ છે.

(C) છેલ્લેથી ક્રમ શોધવા માટે, આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{છેલ્લેથી ક્રમ} = (\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા} - \text{પ્રથમથી ક્રમ}) + 1$.
અહીં, $\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ} = 31$ અને $\text{પ્રથમથી ક્રમ} = 13$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{છેલ્લેથી ક્રમ} = 31 - 13 + 1 = 18 + 1 = 19$.
તેથી, છેલ્લેથી અભિષેકનો ક્રમ $19^{th}$ છે.

(D) શરૂઆતમાં, સવિતા ડાબેથી $10$મા ક્રમે છે અને અનિતા જમણેથી $9$મા ક્રમે છે。
જગ્યાની અદલાબદલી કર્યા પછી, સવિતાનું નવું સ્થાન ડાબેથી $15$મું છે。
કારણ કે સવિતા હવે અનિતાના મૂળ સ્થાને છે, તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે ડાબેથી $15$મું સ્થાન એ જમણેથી $9$મા સ્થાન સમાન છે。
હરોળમાં છોકરીઓની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{કુલ} = (\text{ડાબેથી સ્થાન} + \text{જમણેથી સ્થાન}) - 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{કુલ} = (15 + 9) - 1 = 24 - 1 = 23$.
તેથી, હરોળમાં કુલ $23$ છોકરીઓ છે。

(B) શરૂઆતની અને અંતની બંને તારીખોને ગણીને કુલ દિવસોની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
જાન્યુઆરી: $26$ થી $31$ તારીખ સુધી $= 6$ દિવસ.
ફેબ્રુઆરી: $1988$ એ લિપ વર્ષ હોવાથી $(1988 \div 4 = 497)$,ફેબ્રુઆરીમાં $29$ દિવસ હોય છે.
માર્ચ: $31$ દિવસ.
એપ્રિલ: $30$ દિવસ.
મે: $15$ દિવસ.
કુલ દિવસો $= 6 + 29 + 31 + 30 + 15 = 111$ દિવસ.

(B) રામના જણાવ્યા મુજબ,લક્ષ્મણનો જન્મદિવસ $20^{th}$ અને $21^{st}$ નવેમ્બરની વચ્ચેના દિવસોમાં છે.
અનિલના જણાવ્યા મુજબ,લક્ષ્મણનો જન્મદિવસ $21^{st}$,$22^{nd}$ અને $23^{rd}$ નવેમ્બરની વચ્ચેના દિવસોમાં છે.
બંને નિવેદનોમાં સામાન્ય દિવસ $21^{st}$ નવેમ્બર છે.
તેથી,લક્ષ્મણનો જન્મદિવસ $21^{st}$ નવેમ્બરના રોજ છે.

(D) આપણે એવા $5$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જે બે શરતો પૂરી કરે છે:
$1$. તેની તરત પહેલા $3$ નથી (એટલે કે,પેટર્ન $3, 5$ નથી).
$2$. તેની તરત પછી $7$ આવે છે (એટલે કે,પેટર્ન $5, 7$ છે).
શ્રેણી તપાસીએ: $1, 5, 7, 3, 5, 7, 4, 7, 3, 7, 2, 5, 6, 5, 8, 5, 7, 4, 5, 6, 5, 5, 7, 1, 5, 7, 7, 5, 5$
- પ્રથમ $5$ પછી $7$ છે અને પહેલા $1$ છે. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
- બીજો $5$ પછી $7$ છે પણ પહેલા $3$ છે. (શરત પૂર્ણ થતી નથી)
- ત્રીજો $5$ પછી $8$ છે. (શરત પૂર્ણ થતી નથી)
- ચોથો $5$ પછી $7$ છે અને પહેલા $8$ છે. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
- પાંચમો $5$ પછી $6$ છે. (શરત પૂર્ણ થતી નથી)
- છઠ્ઠો $5$ પછી $5$ છે. (શરત પૂર્ણ થતી નથી)
- સાતમો $5$ પછી $7$ છે અને પહેલા $5$ છે. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
- આઠમો $5$ પછી $7$ છે અને પહેલા $1$ છે. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
- નવમો $5$ પછી $5$ છે. (શરત પૂર્ણ થતી નથી)
- દસમો $5$ પછી કંઈ નથી. (શરત પૂર્ણ થતી નથી)
આમ,કુલ $4$ એવા $5$ છે જે શરતનું પાલન કરે છે.

(D) બેકી સંખ્યા પછી બે એકી સંખ્યાઓ આવે તેવી ઘટનાઓ શોધવા માટે,આપણે આ પેટર્ન શોધીએ છીએ: (બેકી,એકી,એકી).
આપેલી શ્રેણી: $1, 8, 5, 7, 2, 9, 8, 4, 3, 6, 2, 7, 5, 1, 8, 9, 4, 3, 6, 5, 9$.
ક્રમ તપાસતા:
$1$. $8, 5, 7$ (બેકી,એકી,એકી) - હા.
$2$. $2, 9, 8$ (ના,$8$ બેકી છે).
$3$. $6, 2, 7$ (ના,$2$ બેકી છે).
$4$. $2, 7, 5$ (બેકી,એકી,એકી) - હા.
$5$. $8, 9, 4$ (ના,$4$ બેકી છે).
$6$. $6, 5, 9$ (બેકી,એકી,એકી) - હા.
આવી કુલ $3$ ઘટનાઓ છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,સંખ્યા $3$ કરતા મોટી અને $8$ કરતા નાની છે,જેને $3 < x < 8$ તરીકે લખી શકાય.
બીજી શરત મુજબ,સંખ્યા $6$ કરતા મોટી અને $10$ કરતા નાની છે,જેને $6 < x < 10$ તરીકે લખી શકાય.
સામાન્ય શ્રેણી શોધવા માટે,આપણે બંને અસમતાઓનું સંયોજન કરીએ: $6 < x < 8$.
આ શરતનું પાલન કરતી પૂર્ણાંક સંખ્યા $7$ છે.

(C) આપેલ પેટર્ન: $16 \times 85 = 8651$.
અહીં,પરિણામના અંકો પ્રથમ સંખ્યાનો દશકનો અંક $(1)$,બીજી સંખ્યાનો એકમનો અંક $(5)$,પ્રથમ સંખ્યાનો એકમનો અંક $(6)$,અને બીજી સંખ્યાનો દશકનો અંક $(8)$ લઈને બનાવવામાં આવ્યા છે.
પેટર્ન તપાસતા: $16 \times 85 = 8651$.
$16$ ના અંકો $1, 6$ છે. $85$ ના અંકો $8, 5$ છે.
પરિણામ $8651$ આ રીતે બને છે: ($85$ નો દશક)($16$ નો એકમ)($85$ નો એકમ)($16$ નો દશક).
આ જ રીતે $73 \times 42$ માટે:
$42$ નો દશક $4$ છે,$73$ નો એકમ $3$ છે,$42$ નો એકમ $2$ છે,$73$ નો દશક $7$ છે.
તેથી,પરિણામ $4327$ મળે છે.

(B) છોકરાઓની કુલ સંખ્યા $= 16$ છે.
જ્યારે પ્રમોદને ડાબી તરફ $2$ સ્થાન ખસેડવામાં આવ્યો,ત્યારે ડાબેથી તેનું નવું સ્થાન $7$ મું છે.
આનો અર્થ એ છે કે ડાબેથી તેનું મૂળ સ્થાન $7 + 2 = 9$ મું હતું.
જમણા છેડેથી તેનું અગાઉનું સ્થાન શોધવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{જમણેથી સ્થાન} = \text{કુલ} - \text{ડાબેથી સ્થાન} + 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{જમણેથી સ્થાન} = 16 - 9 + 1 = 8$ મો.

(D) બસ દર $30 \,minutes$ એ ઉપડે છે.
આગામી બસ $9:35 \,am$ વાગ્યે ઉપડવાની હોવાથી,અગાઉની બસ $9:35 \,am - 30 \,minutes = 9:05 \,am$ વાગ્યે ઉપડી હશે.
ક્લાર્કે મુસાફરને જણાવ્યું કે બસ $10 \,minutes$ પહેલા નીકળી ગઈ છે.
તેથી,માહિતી આપવાનો સમય $9:05 \,am + 10 \,minutes = 9:15 \,am$ થશે.

(D) સ્થળાંતર પછી અનિતાનું સ્થાન ડાબી બાજુથી $12^{th}$ છે。
તેણી જમણી તરફ $4$ સ્થાન ખસી હોવાથી, તેનું મૂળ સ્થાન ડાબી બાજુથી $12 - 4 = 8^{th}$ હતું。
હારમાં કુલ છોકરીઓની સંખ્યા $21$ છે。
જમણી બાજુથી સ્થાન શોધવાનું સૂત્ર: $\text{જમણી બાજુથી સ્થાન} = (\text{કુલ સંખ્યા} - \text{ડાબી બાજુથી સ્થાન}) + 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{જમણી બાજુથી સ્થાન} = (21 - 8) + 1 = 13 + 1 = 14^{th}$.

(C) શરત એ છે કે આપણે એવા $5$ શોધવાના છે જેની પછી $3$ આવે (પેટર્ન: $5, 3$) પરંતુ તેની પહેલા $7$ ન હોય (પેટર્ન: $7, 5, 3$ ને બાકાત રાખવું).
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $8, 9, 5, 3, 2, 5, 3, 8, 5, 5, 6, 8, 7, 3, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 6, 5, 3, 3, 5, 7, 3, 8$
$1$. પ્રથમ $5$ ની પછી $3$ છે અને પહેલા $9$ છે. (માન્ય)
$2$. બીજો $5$ ની પછી $3$ છે અને પહેલા $2$ છે. (માન્ય)
$3$. ત્રીજો અને ચોથો $5$ ની પછી $3$ નથી.
$4$. પાંચમો $5$ ની પછી $3$ છે અને પહેલા $6$ છે. (માન્ય)
આમ,કુલ $3$ એવી સંખ્યાઓ છે.

(C) આપણે એવી બેકી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જેની પહેલાં બેકી સંખ્યા અને પછી એકી સંખ્યા હોય. પેટર્ન છે: (બેકી) (લક્ષ્ય બેકી) (એકી).
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $8, 6, 7, 6, 8, 9, 3, 2, 7, 5, 3, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 2, 2, 8, 1, 1, 9$.
$1$. $8, 6, 7$: $6$ ની પહેલાં $8$ (બેકી) અને પછી $7$ (એકી) છે. (ગણતરી: $1$)
$2$. $6, 8, 9$: $8$ ની પહેલાં $6$ (બેકી) અને પછી $9$ (એકી) છે. (ગણતરી: $2$)
$3$. $4, 2, 3$: $2$ ની પહેલાં $4$ (બેકી) અને પછી $3$ (એકી) છે. (ગણતરી: $3$)
$4$. $2, 2, 3$: $2$ ની પહેલાં $2$ (બેકી) અને પછી $3$ (એકી) છે. (ગણતરી: $4$)
$5$. $2, 8, 1$: $8$ ની પહેલાં $2$ (બેકી) અને પછી $1$ (એકી) છે. (ગણતરી: $5$)
આવી કુલ $5$ સંખ્યાઓ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $2$ નો તફાવત ધરાવતી ક્રમિક સંખ્યાઓની જોડી શોધવા માટે,આપણે દરેક પાસપાસેની જોડી $(a, b)$ તપાસીએ છીએ જેથી $|a - b| = 2$ થાય:
$1$. $(6, 4) \rightarrow |6 - 4| = 2$
$2$. $(4, 2) \rightarrow |4 - 2| = 2$
$3$. $(5, 3) \rightarrow |5 - 3| = 2$
$4$. $(8, 6) \rightarrow |8 - 6| = 2$
$5$. $(3, 1) \rightarrow |3 - 1| = 2$
$6$. $(4, 2) \rightarrow |4 - 2| = 2$
શ્રેણી તપાસતા: $6, 4, 1, 2, 2, 8, 7, 4, 2, 1, 5, 3, 8, 6, 2, 1, 7, 1, 4, 1, 3, 2, 8, 6$
જોડીઓ: $(6,4), (4,2), (5,3), (8,6), (3,1), (4,2)$.
આમ,આવી કુલ $6$ જોડીઓ છે.

(D) એવા $8$ શોધવા માટે જે તેની આગળની અને પાછળની બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય,આપણે શ્રેણીના દરેક $8$ ને તપાસીએ:
$1$. પ્રથમ $8$: આગળ $2$ અને પાછળ $4$ છે. $8$ એ $2$ અને $4$ બંને વડે વિભાજ્ય છે. આ એક યોગ્ય $8$ છે.
$2$. બીજો $8$: આગળ $4$ અને પાછળ $4$ છે. $8$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે. આ એક યોગ્ય $8$ છે.
$3$. ત્રીજો $8$: આગળ $2$ અને પાછળ $2$ છે. $8$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે. આ એક યોગ્ય $8$ છે.
$4$. ચોથો $8$: આગળ $9$ અને પાછળ $4$ છે. $8$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$5$. પાંચમો $8$: આગળ $4$ અને પાછળ $3$ છે. $8$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$6$. છઠ્ઠો $8$: આગળ $2$ અને પાછળ $4$ છે. $8$ એ $2$ અને $4$ બંને વડે વિભાજ્ય છે. આ એક યોગ્ય $8$ છે.
$7$. સાતમો $8$: આગળ $1$ અને પાછળ $3$ છે. $8$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,કુલ $4$ એવા $8$ છે.

(B) આપેલી શ્રેણી છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 4, 6, 8, 9, 7, 5, 3, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$.
કુલ પદોની સંખ્યા $n = 27$ છે.
વચ્ચેનું પદ $\frac{n+1}{2} = \frac{27+1}{2} = 14$ મું પદ છે.
ડાબી બાજુથી ગણતા,$14$ મું પદ $9$ છે.
શ્રેણી આ મુજબ છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 4, 6, 8, (9), 7, 5, 3, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$.
$9$ ની ડાબી બાજુએ ત્રીજી સંખ્યા શોધવા માટે ત્રણ સ્થાન પાછળ જવું પડે: પ્રથમ $8$,બીજું $6$,ત્રીજું $4$.
તેથી,જરૂરી સંખ્યા $4$ છે.

(B) આપણે એવા $3$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જે બે શરતો પૂરી કરે છે:
$1$. તેની આગળ $6$ ન હોવો જોઈએ.
$2$. તેની તરત પછી $9$ ન હોવો જોઈએ.
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $9, 3, 6, 6, 3, 9, 5, 9, 3, 7, 8, 9, 1, 3, 9, 6, 3, 9$
- પ્રથમ $3$ ની આગળ $9$ છે અને પછી $6$ છે. (શરત સંતોષાય છે: $9, 3, 6$)
- બીજો $3$ ની આગળ $6$ છે અને પછી $9$ છે. (શરત સંતોષાતી નથી)
- ત્રીજો $3$ ની આગળ $9$ છે અને પછી $7$ છે. (શરત સંતોષાય છે: $9, 3, 7$)
- ચોથો $3$ ની આગળ $1$ છે અને પછી $9$ છે. (શરત સંતોષાતી નથી)
- પાંચમો $3$ ની આગળ $6$ છે અને પછી $9$ છે. (શરત સંતોષાતી નથી)
આમ,કુલ $2$ એવા $3$ છે જે આપેલી શરતોનું પાલન કરે છે.

(A) આપણે એવા $7$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જે બે શરતો પૂરી કરે છે:
$1.$ $7$ ની તરત પહેલાનો અંક $5$ ન હોવો જોઈએ.
$2.$ $7$ ની તરત પછીનો અંક $2$ અથવા $3$ હોવો જોઈએ.
ચાલો શ્રેણી તપાસીએ: $5, 7, 2, 6, 5, 7, 3, 8, 3, 7, 3, 2, 5, 7, 2, 7, 3, 4, 8, 2, 6, 7, 8$
- પ્રથમ $7$ ની પહેલા $5$ છે. (શરત $1$ પૂરી થતી નથી)
- બીજો $7$ ની પહેલા $5$ છે. (શરત $1$ પૂરી થતી નથી)
- ત્રીજો $7$ ની પહેલા $3$ છે અને પછી $3$ છે. (બંને શરતો પૂરી થાય છે)
- ચોથો $7$ ની પહેલા $5$ છે. (શરત $1$ પૂરી થતી નથી)
- પાંચમો $7$ ની પહેલા $2$ છે અને પછી $3$ છે. (બંને શરતો પૂરી થાય છે)
- છઠ્ઠો $7$ ની પહેલા $6$ છે અને પછી $8$ છે. (શરત $2$ પૂરી થતી નથી)
આમ,આવા કુલ $2$ અંક $7$ છે.

(C) આપણે એવા $6$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જે બે શરતો પૂરી કરે છે:
$1$. તેની તરત પહેલા $7$ હોય (એટલે કે પેટર્ન $7, 6$ હોય).
$2$. તેની તરત પછી $9$ ન હોય (એટલે કે પેટર્ન $7, 6, 9$ ન હોય).
શ્રેણી તપાસીએ: $6, 7, 9, 5, 6, 9, 7, 6, 8, 7, 6, 7, 8, 6, 9, 4, 6, 7, 7, 6, 9, 5, 7, 6, 3$.
બધા $7, 6$ ના જૂથો શોધો:
- $7, 6, 8$ (પહેલા $7$ છે,પછી $8$ છે - માન્ય)
- $7, 6, 7$ (પહેલા $7$ છે,પછી $7$ છે - માન્ય)
- $7, 6, 9$ (પહેલા $7$ છે,પછી $9$ છે - અમાન્ય)
- $7, 6, 3$ (પહેલા $7$ છે,પછી $3$ છે - માન્ય)
માન્ય કિસ્સાઓની ગણતરી કરતા:
$1$. $7, 6, 8$ (પ્રથમ કિસ્સો)
$2$. $7, 6, 7$ (બીજો કિસ્સો)
$3$. $7, 6, 3$ (ત્રીજો કિસ્સો)
આમ,કુલ $3$ એવા $6$ છે.

(B) આપણે એવા $7$ શોધવાના છે જે બે શરતો પૂરી કરે છે:
$1$. જેની તરત પહેલા $8$ હોય (એટલે કે $8, 7$ ની જોડી).
$2$. જેની તરત પછી $3$ ન હોય (એટલે કે $8, 7, x$ જ્યાં $x \neq 3$).
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $8, 9, 8, 7, 6, 2, 2, 6, 3, 2, 6, 9, 7, 3, 2, 8, 7, 2, 7, 7, 8, 7, 3, 7, 7, 9, 4$
$8$ ની તરત પછી આવતા તમામ $7$ શોધો:
- પ્રથમ $7$ ની પહેલા $8$ છે $(8, 7, 6)$. અહીં $7$ પછી $6$ છે ($3$ નથી). આ શરત સંતોષાય છે.
- બીજો $7$ ની પહેલા $8$ છે $(8, 7, 2)$. અહીં $7$ પછી $2$ છે ($3$ નથી). આ શરત સંતોષાય છે.
- ત્રીજો $7$ ની પહેલા $8$ છે $(8, 7, 3)$. અહીં $7$ પછી $3$ છે. આ શરત સંતોષાતી નથી.
આમ,કુલ $2$ એવા $7$ છે.

(B) આપણે એવા $1$ ની સંખ્યા શોધવાની છે જેની તરત પછી $2$ આવે છે,શરત એ છે કે $2$ ની તરત પછી $3$ ન હોવો જોઈએ. એટલે કે $(1, 2, \text{not } 3)$ ની જોડી શોધવાની છે.
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $1, 2, 1, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 6, 1, 4, 5, 1, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 1, 7, 5, 2, 1, 2, 5$.
$1$. પ્રથમ $1$ પછી $2$ છે,અને $2$ પછી $1$ છે (જે $3$ નથી). આ એક માન્ય જોડી છે: $(1, 2, 1)$.
$2$. પછીનો $1$ પછી $3$ છે (અમાન્ય).
$3$. પછીનો $1$ પછી $2$ છે,અને $2$ પછી $3$ છે (અમાન્ય).
$4$. પછીનો $1$ પછી $2$ છે,અને $2$ પછી $6$ છે (જે $3$ નથી). આ એક માન્ય જોડી છે: $(1, 2, 6)$.
$5$. પછીનો $1$ પછી $4$ છે (અમાન્ય).
$6$. પછીનો $1$ પછી $1$ છે (અમાન્ય).
$7$. પછીનો $1$ પછી $2$ છે,અને $2$ પછી $4$ છે (જે $3$ નથી). આ એક માન્ય જોડી છે: $(1, 2, 4)$.
$8$. પછીનો $1$ પછી $2$ છે,અને $2$ પછી $3$ છે (અમાન્ય).
$9$. પછીનો $1$ પછી $7$ છે (અમાન્ય).
$10$. પછીનો $1$ પછી $2$ છે,અને $2$ પછી $5$ છે (જે $3$ નથી). આ એક માન્ય જોડી છે: $(1, 2, 5)$.
આમ,કુલ $4$ આવા $1$ મળે છે.

(D) આપણે $X, 6, 7$ પેટર્ન શોધવાની છે જ્યાં $X \neq 8$ હોય.
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $8, 7, 6, 7, 8, 6, 7, 5, 6, 7, 9, 7, 6, 1, 6, 7, 7, 6, 8, 8, 6, 9, 7, 6, 8, 7$.
$1$. $8, 7, 6, 7$: અહીં $6$ ની પહેલા $7$ છે,$8$ નથી. આ શરત પૂર્ણ કરે છે $(X=7)$.
$2$. $8, 6, 7$: અહીં $6$ ની પહેલા $8$ છે. આ શરત પૂર્ણ કરતું નથી.
$3$. $5, 6, 7$: અહીં $6$ ની પહેલા $5$ છે,$8$ નથી. આ શરત પૂર્ણ કરે છે $(X=5)$.
$4$. $1, 6, 7$: અહીં $6$ ની પહેલા $1$ છે,$8$ નથી. આ શરત પૂર્ણ કરે છે $(X=1)$.
$5$. $6, 7, 7$: અહીં $6$ ની પહેલા $7$ છે,$8$ નથી. આ શરત પૂર્ણ કરે છે $(X=7)$.
$6$. $9, 7, 6, 8, 7$: અહીં $6$ ની પહેલા $7$ છે,$8$ નથી. આ શરત પૂર્ણ કરે છે $(X=7)$.
કુલ $4$ વખત આ શરત સંતોષાય છે.

(C) આપણે $(X, 2, 1)$ પેટર્ન શોધવાની છે જ્યાં $X \neq 4$ હોય.
આપેલી શ્રેણી: $4, 2, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 4, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 4, 2, 1, 2, 4, 1, 4, 6$.
ચાલો $2$ ની પછી $1$ આવતી તમામ જોડીઓ જોઈએ:
$1$. $(4, 2, 1)$ - પહેલા $4$ છે (બાકાત)
$2$. $(2, 2, 1)$ - પહેલા $2$ છે (ગણતરીમાં લેવું)
$3$. $(1, 2, 1)$ - પહેલા $1$ છે (ગણતરીમાં લેવું)
$4$. $(4, 2, 1)$ - પહેલા $4$ છે (બાકાત)
$5$. $(4, 2, 1)$ - પહેલા $4$ છે (બાકાત)
$6$. $(2, 2, 1)$ - પહેલા $2$ છે (ગણતરીમાં લેવું)
$7$. $(2, 2, 1)$ - પહેલા $2$ છે (ગણતરીમાં લેવું)
$8$. $(4, 2, 1)$ - પહેલા $4$ છે (બાકાત)
આમ,કુલ $4$ વખત આ શરતનું પાલન થાય છે.

(C) આપણે આપેલી શ્રેણીમાં $9, 7, 6$ ની પેટર્ન શોધવાની છે.
આપેલી શ્રેણી: $7, 8, 9, 7, 6, 5, 3, 4, 2, 8, 9, 7, 2, 4, 5, 9, 2, 9, 7, 6, 4, 7$.
ચાલો શ્રેણીમાં $9, 7, 6$ પેટર્ન માટે તપાસ કરીએ:
$1$. પ્રથમ ઘટના શરૂઆતમાં છે: $7, 8, \mathbf{9, 7, 6}, 5, ...$
$2$. આગળ તપાસતા: $..., 8, 9, 7, 2, 4, 5, 9, 2, \mathbf{9, 7, 6}, 4, 7$.
શ્રેણીમાં આવી $2$ ઘટનાઓ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,શ્રેણીમાં દરેક સંખ્યાની આવૃત્તિ ગણો:
$2$ એ $3$ વખત આવે છે $(2, 2, 2)$
$3$ એ $1$ વખત આવે છે $(3)$
$4$ એ $3$ વખત આવે છે $(4, 4, 4)$
$5$ એ $2$ વખત આવે છે $(5, 5)$
$6$ એ $2$ વખત આવે છે $(6, 6)$
$7$ એ $5$ વખત આવે છે $(7, 7, 7, 7, 7)$
$8$ એ $2$ વખત આવે છે $(8, 8)$
$9$ એ $4$ વખત આવે છે $(9, 9, 9, 9)$
આવૃત્તિઓની સરખામણી કરતા,સંખ્યાઓ $5, 6,$ અને $8$ દરેક $2$ વખત આવે છે. તેથી,તેમની આવૃત્તિ સમાન છે.

(B) એવા $6$ ની સંખ્યા શોધવા માટે જેની પહેલા $9$ હોય પરંતુ પછી $4$ ન હોય,આપણે શ્રેણી તપાસીએ: $5, 6, 4, 3, 2, 9, 6, 3, 1, 6, 4, 9, 6, 4, 2, 1, 5, 9, 6, 7, 2, 1, 4, 7, 4, 9, 6, 4, 2$.
$1$. શ્રેણીમાં $6$ ના તમામ સ્થાન તપાસો:
- પ્રથમ $6$ ની પહેલા $5$ અને પછી $4$ છે $(5, 6, 4)$.
- બીજા $6$ ની પહેલા $9$ અને પછી $3$ છે $(9, 6, 3)$. આ શરત સંતોષે છે (પહેલા $9$ છે,પછી $4$ નથી).
- ત્રીજા $6$ ની પહેલા $1$ અને પછી $4$ છે $(1, 6, 4)$.
- ચોથા $6$ ની પહેલા $9$ અને પછી $4$ છે $(9, 6, 4)$. આ શરત સંતોષતું નથી (કારણ કે પછી $4$ છે).
- પાંચમા $6$ ની પહેલા $9$ અને પછી $7$ છે $(9, 6, 7)$. આ શરત સંતોષે છે (પહેલા $9$ છે,પછી $4$ નથી).
- છઠ્ઠા $6$ ની પહેલા $9$ અને પછી $4$ છે $(9, 6, 4)$. આ શરત સંતોષતું નથી (કારણ કે પછી $4$ છે).
આમ,કુલ $2$ એવા $6$ છે જે શરતનું પાલન કરે છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણે એવો ક્રમ શોધવાનો છે જેમાં $7$ વચ્ચે હોય અને $1$ તથા $3$ તેની બંને બાજુએ હોય. આનો અર્થ એ છે કે આપણે $(1, 7, 3)$ અથવા $(3, 7, 1)$ ક્રમ શોધી રહ્યા છીએ.
આપેલી શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $2, 9, 7, 3, 1, 7, 3, 7, 7, 1, 3, 3, 1, 7, 3, 8, 5, 7, 1, 3, 7, 7, 1, 7, 3, 9, 0, 6$.
$1$. પ્રથમ ઘટના $(1, 7, 3)$ છે: $2, 9, 7, 3, \mathbf{1, 7, 3}, 7, 7, 1, 3, 3, 1, 7, 3, 8, 5, 7, 1, 3, 7, 7, 1, 7, 3, 9, 0, 6$.
$2$. બીજી ઘટના $(1, 7, 3)$ છે: $2, 9, 7, 3, 1, 7, 3, 7, 7, 1, 3, 3, \mathbf{1, 7, 3}, 8, 5, 7, 1, 3, 7, 7, 1, 7, 3, 9, 0, 6$.
$3$. ત્રીજી ઘટના $(1, 7, 3)$ છે: $2, 9, 7, 3, 1, 7, 3, 7, 7, 1, 3, 3, 1, 7, 3, 8, 5, 7, 1, 3, 7, 7, \mathbf{1, 7, 3}, 9, 0, 6$.
આમ,કુલ $3$ વખત આ ક્રમ જોવા મળે છે.

(C) $2$ નો તફાવત ધરાવતી એકાંતરે આવતી સંખ્યાઓની જોડી શોધવા માટે,આપણે એક સંખ્યા છોડીને શ્રેણી તપાસીએ છીએ.
શ્રેણી છે: $6, 4, 1, 2, 2, 8, 7, 4, 2, 1, 6, 3, 8, 6, 2, 1, 7, 1, 4, 1, 3, 2, 8, 6$.
એકાંતરે આવતી સંખ્યાઓની જોડી $(a_n, a_{n+2})$ નીચે મુજબ છે:
$(6, 1), (4, 2), (1, 2), (2, 8), (2, 7), (8, 4), (7, 2), (4, 1), (2, 6), (1, 3), (6, 8), (3, 6), (8, 2), (6, 1), (2, 7), (1, 1), (7, 4), (1, 1), (4, 3), (1, 2), (3, 8), (2, 6)$.
હવે,દરેક જોડી માટે નિરપેક્ષ તફાવત $|a_n - a_{n+2}|$ ગણીએ:
$|6-1|=5, |4-2|=2, |1-2|=1, |2-8|=6, |2-7|=5, |8-4|=4, |7-2|=5, |4-1|=3, |2-6|=4, |1-3|=2, |6-8|=2, |3-6|=3, |8-2|=6, |6-1|=5, |2-7|=5, |1-1|=0, |7-4|=3, |1-1|=0, |4-3|=1, |1-2|=1, |3-8|=5, |2-6|=4$.
$2$ નો તફાવત ધરાવતી જોડીઓ $(4, 2), (1, 3),$ અને $(6, 8)$ છે.
આમ,આવી કુલ $3$ જોડીઓ છે.

(D) આપણે એવી બેકી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે બે શરતો પૂરી કરે:
$1$. તેની પહેલાં બેકી સંખ્યા હોય.
$2$. તેની પછી એકી સંખ્યા હોય.
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $8, 6, 7, 6, 8, 9, 3, 2, 7, 5, 3, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 2, 2, 8, 1, 1, 9$.
- $6$ (પહેલા $8$,પછી $7$): બેકી,બેકી,એકી. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
- $8$ (પહેલા $6$,પછી $9$): બેકી,બેકી,એકી. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
- $2$ (પહેલા $4$,પછી $3$): બેકી,બેકી,એકી. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
- $8$ (પહેલા $2$,પછી $1$): બેકી,બેકી,એકી. (શરત પૂર્ણ થાય છે)
કુલ સંખ્યા $4$ છે. વિકલ્પોમાં $4$ આપેલ નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) એકી સંખ્યાઓ કે જેની તરત પછી બીજી એકી સંખ્યા આવે છે તે શોધવા માટે,આપણે શ્રેણીને જોડીમાં તપાસીએ છીએ:
$5, 1$ (એકી,એકી) - હા
$1, 4$ (એકી,બેકી) - ના
$4, 7$ (બેકી,એકી) - ના
$7, 3$ (એકી,એકી) - હા
$3, 9$ (એકી,એકી) - હા
$9, 8$ (એકી,બેકી) - ના
$8, 5$ (બેકી,એકી) - ના
$5, 7$ (એકી,એકી) - હા
$7, 2$ (એકી,બેકી) - ના
$2, 6$ (બેકી,બેકી) - ના
$6, 3$ (બેકી,એકી) - ના
$3, 1$ (એકી,એકી) - હા
$1, 5$ (એકી,એકી) - હા
$5, 8$ (એકી,બેકી) - ના
$8, 6$ (બેકી,બેકી) - ના
$6, 3$ (બેકી,એકી) - ના
$3, 8$ (એકી,બેકી) - ના
$8, 5$ (બેકી,એકી) - ના
$5, 2$ (એકી,બેકી) - ના
$2, 2$ (બેકી,બેકી) - ના
$2, 4$ (બેકી,બેકી) - ના
$4, 3$ (બેકી,એકી) - ના
$3, 4$ (એકી,બેકી) - ના
$4, 9$ (બેકી,એકી) - ના
$9, 6$ (એકી,બેકી) - ના
આ જોડીઓ છે: $(5, 1), (7, 3), (3, 9), (5, 7), (3, 1), (1, 5)$।
આ ગણતરી કરતા,આપણને $6$ આવી ઘટનાઓ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે એવી બેકી સંખ્યા $(E)$ શોધવાની છે જે $(O, E, E)$ એટલે કે (એકી,બેકી,બેકી) ના ક્રમમાં હોય.
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $5, 1, 4, 7, 3, 9, 8, 5, 7, 2, 6, 3, 1, 5, 8, 6, 3, 8, 5, 2, 2, 4, 3, 4, 9, 6$.
$1$. $(7, 2, 6)$: અહીં $2$ એ બેકી સંખ્યા છે,જેની પહેલા $7$ (એકી) અને પછી $6$ (બેકી) છે. આ એક યોગ્ય જોડી છે.
$2$. $(5, 8, 6)$: અહીં $8$ એ બેકી સંખ્યા છે,જેની પહેલા $5$ (એકી) અને પછી $6$ (બેકી) છે. આ એક યોગ્ય જોડી છે.
$3$. $(5, 2, 2)$: અહીં $2$ એ બેકી સંખ્યા છે,જેની પહેલા $5$ (એકી) અને પછી $2$ (બેકી) છે. આ એક યોગ્ય જોડી છે.
$4$. $(3, 4, 9)$: અહીં $4$ એ બેકી સંખ્યા છે,પરંતુ તેની પછી $9$ (એકી) છે. આ યોગ્ય જોડી નથી.
આમ,આવી કુલ $3$ બેકી સંખ્યાઓ છે.

(D) આપણે એવી એકી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે આ પેટર્નનું પાલન કરે: (બેકી સંખ્યા) - (એકી સંખ્યા) - (બેકી સંખ્યા).
ચાલો શ્રેણી તપાસીએ: $5, 1, 4, 7, 3, 9, 8, 5, 7, 2, 6, 3, 1, 5, 8, 6, 3, 8, 5, 2, 2, 4, 3, 4, 9, 6$.
$1$. $8, 6, 3$ માં,$3$ ની પહેલાં $6$ (બેકી) અને પછી $8$ (બેકી) છે. (બંધ બેસે છે)
$2$. $6, 3, 8$ માં,$3$ ની પહેલાં $6$ (બેકી) અને પછી $8$ (બેકી) છે. (બંધ બેસે છે)
$3$. $8, 5, 2$ માં,$5$ ની પહેલાં $8$ (બેકી) અને પછી $2$ (બેકી) છે. (બંધ બેસે છે)
$4$. $4, 3, 4$ માં,$3$ ની પહેલાં $4$ (બેકી) અને પછી $4$ (બેકી) છે. (બંધ બેસે છે)
આમ,કુલ $4$ એવી એકી સંખ્યાઓ છે.

(B) આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધવાની છે જે આ પેટર્નનું પાલન કરે: (એકી સંખ્યા જે $3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય) $\rightarrow$ (એકી સંખ્યા) $\rightarrow$ (બેકી સંખ્યા).
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $12, 19, 21, 3, 25, 18, 35, 20, 22, 21, 45, 46, 47, 48, 9, 50, 52, 54, 55, 56$.
$1$. $21$ તપાસો: તે એકી છે અને $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેની પછીની સંખ્યા $3$ (એકી) છે,અને તેની પછીની $25$ (એકી) છે. (લાગુ પડતું નથી)
$2$. $3$ તપાસો: તે એકી છે અને $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેની પછીની સંખ્યા $25$ (એકી) છે,અને તેની પછીની $18$ (બેકી) છે. (પેટર્ન મળે છે: $3, 25, 18$)
$3$. $45$ તપાસો: તે એકી છે અને $3$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય છે. તેની પછીની સંખ્યા $46$ (બેકી) છે. (લાગુ પડતું નથી)
$4$. $9$ તપાસો: તે એકી છે અને $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેની પછીની સંખ્યા $50$ (બેકી) છે. (લાગુ પડતું નથી)
માત્ર એક જ સંખ્યા $(3)$ આ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે એવી બેકી સંખ્યાઓ $E$ શોધવાની છે જે તેના અગાઉની સંખ્યા $P$ વડે વિભાજ્ય હોય $(E \pmod P = 0)$ અને તેના પછીની સંખ્યા $F$ વડે વિભાજ્ય ન હોય $(E \pmod F \neq 0)$.
શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $3, 8, 4, 1, 5, 7, 2, 8, 3, 4, 8, 9, 3, 9, 4, 2, 1, 5, 8, 2$
$1$. $8$: પહેલા $3$ છે (વિભાજ્ય નથી).
$2$. $4$: પહેલા $8$ છે (વિભાજ્ય નથી).
$3$. $2$: પહેલા $7$ છે (વિભાજ્ય નથી).
$4$. $8$: પહેલા $2$ છે ($8/2 = 4$,વિભાજ્ય છે). પછી $3$ છે ($8/3$ પૂર્ણાંક નથી). શરત સંતોષાય છે.
$5$. $4$: પહેલા $3$ છે (વિભાજ્ય નથી).
$6$. $8$: પહેલા $4$ છે ($8/4 = 2$,વિભાજ્ય છે). પછી $9$ છે ($8/9$ પૂર્ણાંક નથી). શરત સંતોષાય છે.
$7$. $4$: પહેલા $9$ છે (વિભાજ્ય નથી).
$8$. $2$: પહેલા $4$ છે (વિભાજ્ય નથી).
$9$. $8$: પહેલા $5$ છે (વિભાજ્ય નથી).
$10$. $2$: પહેલા $8$ છે (વિભાજ્ય નથી).
શરત સંતોષતી સંખ્યાઓ $8$ અને $8$ છે. આમ,કુલ $2$ સંખ્યાઓ છે.

(D) નિતિનની શ્રેણી ($32$ થી નીચેની તરફ): $32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$.
સુમિતની શ્રેણી ($1$ થી ઉપરની તરફ એકી સંખ્યાઓ): $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31$.
ધારો કે $n$ એ પગલાનો ક્રમ છે ($1$ થી શરૂ થાય છે).
નિતિનની $n$-મી સંખ્યા $N_n = 32 - (n - 1) = 33 - n$ છે.
સુમિતની $n$-મી સંખ્યા $S_n = 2n - 1$ છે.
$N_n = S_n$ લેતા,આપણને મળે છે $33 - n = 2n - 1$.
$34 = 3n$,જેનો અર્થ છે $n = 34/3 = 11.33$.
કારણ કે $n$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી તેઓ ક્યારેય એક જ સમયે સમાન સંખ્યા બોલશે નહીં.

(B) મૂળ શ્રેણી $5, 9, 8, 1, 3, 2, 7, 4, 3, 8$ છે.
અંકોને જોડીમાં અદલાબદલી કરતા (પ્રથમ સાથે બીજો,ત્રીજો સાથે ચોથો,વગેરે),નવી શ્રેણી $9, 5, 1, 8, 2, 3, 4, 7, 8, 3$ બને છે.
ડાબી બાજુથી ગણતા,શ્રેણી આ મુજબ છે:
પ્રથમ: $9$
બીજો: $5$
ત્રીજો: $1$
ચોથો: $8$
પાંચમો: $2$
છઠ્ઠો: $3$
સાતમો: $4$
તેથી,ડાબી બાજુથી ગણતા સાતમો અંક $4$ છે.

(C) મૂળ શ્રેણી $8, 9, 0, 3, 2, 1, 4, 6, 7, 5$ છે.
કુલ $10$ અંકો છે.
અદલાબદલીની પેટર્ન આ મુજબ છે: $1^{st} leftrightarrow 6^{th}$,$2^{nd} leftrightarrow 7^{th}$,$3^{rd} leftrightarrow 8^{th}$,$4^{th} leftrightarrow 9^{th}$,$5^{th} leftrightarrow 10^{th}$.
આ અદલાબદલી લાગુ કરતા:
$1^{st}$ $(8)$ અને $6^{th}$ $(1)$ ની અદલાબદલી $ ightarrow$ $1, 9, 0, 3, 2, 8, 4, 6, 7, 5$
$2^{nd}$ $(9)$ અને $7^{th}$ $(4)$ ની અદલાબદલી $ ightarrow$ $1, 4, 0, 3, 2, 8, 9, 6, 7, 5$
$3^{rd}$ $(0)$ અને $8^{th}$ $(6)$ ની અદલાબદલી $ ightarrow$ $1, 4, 6, 3, 2, 8, 9, 0, 7, 5$
$4^{th}$ $(3)$ અને $9^{th}$ $(7)$ ની અદલાબદલી $ ightarrow$ $1, 4, 6, 7, 2, 8, 9, 0, 3, 5$
$5^{th}$ $(2)$ અને $10^{th}$ $(5)$ ની અદલાબદલી $ ightarrow$ $1, 4, 6, 7, 5, 8, 9, 0, 3, 2$
નવી શ્રેણી $1, 4, 6, 7, 5, 8, 9, 0, 3, 2$ છે.
જમણી બાજુથી સાતમી સંખ્યા એ ડાબી બાજુથી ચોથી સંખ્યા છે,જે $7$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P = 4$.
$P$ અને $T$ વચ્ચેનો તફાવત $5$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|P - T| = 5$.
$P = 4$ હોવાથી,આપણને $|4 - T| = 5$ મળે છે. આનાથી બે શક્યતાઓ મળે છે: $4 - T = 5$ (જેનો અર્થ છે $T = -1$,જે શક્ય નથી કારણ કે પૂર્ણાંકો $1$ થી $9$ છે) અથવા $T - 4 = 5$,જેનો અર્થ છે $T = 9$.
હવે,$N$ અને $T$ વચ્ચેનો તફાવત $3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|N - T| = 3$.
$T = 9$ મૂકતા,આપણને $|N - 9| = 3$ મળે છે.
આનાથી બે શક્યતાઓ મળે છે: $N - 9 = 3$ (જેનો અર્થ છે $N = 12$,જે શક્ય નથી કારણ કે પૂર્ણાંકો $1$ થી $9$ છે) અથવા $9 - N = 3$,જેનો અર્થ છે $N = 6$.
તેથી,$N$ ને આપવામાં આવેલ પૂર્ણાંક $6$ છે.

(C) ધારો કે $C$ એ કાર અને $S$ એ સ્કૂટર દર્શાવે છે.
ક્રમ આ મુજબ છે: $C, S, C, S, S, C, S, S, S, C, S, S, S, S, C, S, S, S, S, S, C, S, S, S, S, S, S, C, S, S, S, S, S, S, S, C$.
કુલ $36$ વાહનો છે. બીજો અર્ધભાગ $19$ થી $36$ ના સ્થાન પર છે.
કાર $(C)$ ના સ્થાન:
$1^{st}$ કાર $1$ પર,$2^{nd}$ કાર $3$ પર,$3^{rd}$ કાર $6$ પર,$4^{th}$ કાર $10$ પર,$5^{th}$ કાર $15$ પર,$6^{th}$ કાર $21$ પર,$7^{th}$ કાર $28$ પર,$8^{th}$ કાર $36$ પર છે.
$19$ થી $36$ ના સ્થાનમાં આવતા વાહનો:
$19(S), 20(S), 21(C), 22(S), 23(S), 24(S), 25(S), 26(S), 27(S), 28(C), 29(S), 30(S), 31(S), 32(S), 33(S), 34(S), 35(S), 36(C)$.
આમ,બીજા અર્ધભાગમાં કુલ $15$ સ્કૂટર છે.

(D) આપેલી શ્રેણીનું પદોને નીચે મુજબ જૂથમાં વહેંચીને વિશ્લેષણ કરી શકાય છે:
$4 / 4, 5 / 4, 5, 3 / 4, 5, 3, 1 / 4, 5, 3, 1, 2 / 4, 5 / 4, 5, 3 / 4, 5, 3, ...$
ભાત (pattern) જોતા,શ્રેણી પુનરાવર્તિત બ્લોક્સની બનેલી છે જે લંબાઈમાં વધે છે: $(4), (4, 5), (4, 5, 3), (4, 5, 3, 1), (4, 5, 3, 1, 2)$.
પાંચમા બ્લોક $(4, 5, 3, 1, 2)$ પછી,ભાત ફરીથી શ્રેણીની શરૂઆતથી શરૂ થાય છે. $(4, 5, 3)$ પછીનો આગામી બ્લોક $(4, 5, 3, 1)$ છે.
તેથી,શ્રેણીમાં આગળની સંખ્યા $1$ છે,જેનો અર્થ 'દોડવું' (Run) થાય છે.