Races and Games Questions in Gujarati

(D) $100$ પોઈન્ટની રમતમાં,જો $P$ એ $Q$ ને $10$ પોઈન્ટ આપે,તો તેનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $P$ $100$ સ્કોર કરે,ત્યારે $Q$ $90$ સ્કોર કરે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $P : Q = 100 : 90 = 10 : 9$.
જો $P$ એ $R$ ને $28$ પોઈન્ટ આપે,તો તેનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $P$ $100$ સ્કોર કરે,ત્યારે $R$ $72$ સ્કોર કરે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $P : R = 100 : 72 = 25 : 18$.
$Q : R$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે ગણતરી કરીએ:
$\frac{Q}{R} = \frac{Q}{P} \times \frac{P}{R} = \frac{90}{100} \times \frac{100}{72} = \frac{90}{72} = \frac{5}{4}$.
આને $Q$ માટે $100$ પોઈન્ટની રમતના સંદર્ભમાં દર્શાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $20$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{Q}{R} = \frac{5 \times 20}{4 \times 20} = \frac{100}{80}$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $Q$ $100$ પોઈન્ટ સ્કોર કરે,ત્યારે $R$ $80$ પોઈન્ટ સ્કોર કરે છે.
તેથી,$Q$ એ $R$ ને $100 - 80 = 20$ પોઈન્ટ આપી શકે છે.

(B) $200\,m$ ની દોડમાં,જ્યારે $A$ એ $200\,m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $B$ એ $(200 - 31) = 169\,m$ અને $C$ એ $(200 - 18) = 182\,m$ અંતર કાપે છે.
આમ,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B:C = 200:169:182$ છે.
$C$ એ $B$ ને કેટલા અંતરથી હરાવશે તે શોધવા માટે,આપણે $C$ અને $B$ ની સરખામણી કરીએ: $\frac{C}{B} = \frac{182}{169}$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $C$ એ $182\,m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $B$ એ $169\,m$ અંતર કાપે છે,એટલે કે $182\,m$ ની દોડમાં $C$ એ $B$ ને $(182 - 169) = 13\,m$ થી હરાવે છે.
$280\,m$ ની દોડમાં,$C$ દ્વારા $B$ ને હરાવવાનું અંતર આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\text{Gain} = \left(\frac{13}{182}\right) \times 280 = \frac{1}{14} \times 280 = 20\,m$.
તેથી,$C$ એ $B$ ને $20\,m$ થી હરાવશે.

(B) $100\, m$ ની દોડમાં,$A$ એ $100\, m$ અંતર કાપે છે,$B$ એ $90\, m$ અંતર કાપે છે,અને $C$ એ $80\, m$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$B$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $B:C = 90:80 = 9:8$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $B$ દ્વારા દોડવામાં આવતા દરેક $9\, m$ માટે,$C$ એ $8\, m$ દોડે છે.
$180\, m$ ની દોડમાં,જ્યારે $B$ એ $180\, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $C$ એ $\left(\frac{8}{9} \times 180\right) = 160\, m$ અંતર કાપશે.
તેથી,$B$ એ $C$ ને $180 - 160 = 20\, m$ ના અંતરથી હરાવશે.

(B) દોડની કુલ લંબાઈ $500\, m$ છે.
$A$ ને $140\, m$ ની શરૂઆત આપવામાં આવી છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ અંતિમ રેખા સુધી પહોંચવા માટે માત્ર $500 - 140 = 360\, m$ અંતર કાપવાનું છે.
$A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $4:5$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $A$ દ્વારા કાપવામાં આવેલા દરેક $4\, m$ માટે,$B$ $5\, m$ અંતર કાપે છે.
જ્યારે $A$ $360\, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $B$ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર: $\frac{5}{4} \times 360 = 450\, m$ થાય છે.
જે સમયે $A$ $360\, m$ અંતર કાપીને અંતિમ રેખા પર પહોંચે છે,તે જ સમયે $B$ $450\, m$ અંતર કાપે છે,એટલે કે $B$ હજુ પણ અંતિમ રેખાથી $500 - 450 = 50\, m$ દૂર છે.
તેથી,$A$ $50\, m$ થી દોડ જીતે છે.

(C) જ્યારે $B$ એ $25\, m$ દોડે છે,ત્યારે $A$ એ $23\, m$ દોડે છે.
$1000\, m$ (એટલે કે $1\, km$) ની રેસમાં,જ્યારે $B$ એ સંપૂર્ણ $1000\, m$ નું અંતર કાપે છે,ત્યારે $A$ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $= \left(\frac{23}{25} \times 1000\right)\, m = 920\, m$.
તેથી,$B$ એ $A$ ને તેમના અંતરના તફાવતથી હરાવે છે:
$B$ એ $A$ ને $= 1000\, m - 920\, m = 80\, m$ થી હરાવે છે.

$(A)$ એ $5\, s$ માં $25\, m$ અંતર કાપે છે.
$B$ ની ઝડપ $= \frac{25\, m}{5\, s} = 5\, m/s$ છે.
$B$ ને $1\, km$ $(1000\, m)$ અંતર કાપતા લાગતો સમય $= \frac{1000\, m}{5\, m/s} = 200\, s$ છે.
$A$ એ $B$ ને $5\, s$ થી હરાવ્યો હોવાથી, $A$ એ $B$ કરતા $5\, s$ વહેલી દોડ પૂર્ણ કરી.
$A$ નો સમય $= 200\, s - 5\, s = 195\, s$.
$195\, s = 3\, \text{મિનિટ } 15\, \text{સેકન્ડ}$.

(B) $300 \text{ m}$ ની દોડમાં,$A$ એ $B$ ને $15 \text{ m}$ અથવા $5 \text{ s}$ થી હરાવ્યો. આનો અર્થ એ છે કે $B$ બાકીના $15 \text{ m}$ અંતરને $5 \text{ s}$ માં કાપે છે.
પ્રથમ,$B$ ની ઝડપ શોધો:
$B$ ની ઝડપ $= \frac{15 \text{ m}}{5 \text{ s}} = 3 \text{ m/s}$.
હવે,$B$ દ્વારા $300 \text{ m}$ ની દોડ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો કુલ સમય શોધો:
$B$ દ્વારા લાગતો સમય $= \frac{300 \text{ m}}{3 \text{ m/s}} = 100 \text{ s}$.
$A$ એ $B$ ને $5 \text{ s}$ થી હરાવ્યો હોવાથી,$A$ એ $B$ કરતા $5 \text{ s}$ વહેલી દોડ પૂર્ણ કરી:
$A$ દ્વારા લાગતો સમય $= 100 \text{ s} - 5 \text{ s} = 95 \text{ s}$.

(C) દ્વારા $1 \ km$ $(1000 \ m)$ દોડવા માટે લેવાયેલ સમય $= 30 \times 2 = 60 \text{ સેકન્ડ}$.
$B$ દ્વારા $1 \ km$ $(1000 \ m)$ દોડવા માટે લેવાયેલ સમય $= 35 \times 2 = 70 \text{ સેકન્ડ}$.
દોડ ટાઈ (dead-heat) માં સમાપ્ત થાય તે માટે,$A$ એ $B$ ને તે સમયના તફાવત જેટલું અંતર શરૂઆતમાં આપવું જોઈએ જે $B$ કાપે છે.
સમયનો તફાવત $= 70 - 60 = 10 \text{ સેકન્ડ}$.
$B$ એ $35 \text{ સેકન્ડમાં } 500 \ m$ દોડે છે,તેથી $B$ ની ઝડપ $= \frac{500}{35} \text{ m/s}$.
$10 \text{ સેકન્ડમાં } B$ દ્વારા કાપેલ અંતર $= \frac{500}{35} \times 10 = \frac{5000}{35} = \frac{1000}{7} = 142 \frac{6}{7} \text{ મીટર}$.
આમ,$A$ એ $1 \ km$ ની દોડમાં $B$ ને $142 \frac{6}{7} \text{ મીટર}$ ની શરૂઆત આપી શકે છે.

(B) અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $1 \frac{3}{8} : 1 = \frac{11}{8} : 1 = 11 : 8$ છે.
ધારો કે $A$ ની ઝડપ $11v$ છે અને $B$ ની ઝડપ $8v$ છે.
ધારો કે રેસનું કુલ અંતર $x \, m$ છે.
$A$ એ $B$ ને $120 \, m$ ની શરૂઆત આપી હોવાથી,જ્યારે $A$ એ $x \, m$ અંતર કાપ્યું હોય ત્યારે $B$ એ $(x - 120) \, m$ અંતર કાપ્યું હશે.
તેઓ એક જ સમયે લક્ષ્ય પર પહોંચતા હોવાથી,બંને દ્વારા લેવાયેલ સમય સમાન છે.
સમય = $\frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$.
તેથી,$\frac{x}{11v} = \frac{x - 120}{8v}$.
બંને બાજુથી $v$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{x}{11} = \frac{x - 120}{8}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $8x = 11(x - 120)$ મળે છે.
$8x = 11x - 1320$.
$11x - 8x = 1320$.
$3x = 1320$.
$x = 440 \, m$.

(A) $100$ પોઈન્ટની રમતમાં,જ્યારે $A$ $100$ પોઈન્ટ મેળવે છે,ત્યારે $B$ $100 - 20 = 80$ પોઈન્ટ અને $C$ $100 - 28 = 72$ પોઈન્ટ મેળવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $B$ $80$ પોઈન્ટ મેળવે છે,ત્યારે $C$ $72$ પોઈન્ટ મેળવે છે.
$100$ પોઈન્ટની રમતમાં $B$ એ $C$ ને કેટલા પોઈન્ટ આપી શકે તે શોધવા માટે,આપણે $B$ જ્યારે $100$ પોઈન્ટ મેળવે ત્યારે $C$ ના સ્કોરની ગણતરી કરીએ.
જો $B$ $100$ પોઈન્ટ મેળવે,તો $C$ $\frac{72}{80} \times 100 = 0.9 \times 100 = 90$ પોઈન્ટ મેળવે.
તેથી,$B$ એ $C$ ને $100 - 90 = 10$ પોઈન્ટની લીડ આપી શકે છે.

(B) ધારો કે $B$ ની ઝડપ $v$ છે. તો $A$ ની ઝડપ $\frac{3}{2}v$ થશે.
$A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B = \frac{3}{2}v : v = 3:2$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે એવી રેસમાં જ્યાં $A$,$3 \, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $B$,$2 \, m$ અંતર કાપે છે.
આ કિસ્સામાં,$A$ દરેક $3 \, m$ ની રેસમાં $B$ કરતા $(3 - 2) = 1 \, m$ વધુ અંતર કાપે છે.
અહીં આપેલ છે કે $A$,$B$ ને $300 \, m$ ની શરૂઆત આપે છે,એટલે કે બંને એકસાથે પહોંચવા માટે $A$ એ $B$ કરતા $300 \, m$ વધુ અંતર કાપવું પડે.
જો $1 \, m$ ના ફાયદા માટે રેસનું અંતર $3 \, m$ હોય,તો $300 \, m$ ના ફાયદા માટે રેસનું અંતર $3 \times 300 = 900 \, m$ થાય.

(C) જ્યારે $A$ એ $600\, m$ દોડે છે,ત્યારે $B$ એ $(600 - 60) = 540\, m$ દોડે છે.
તેથી,$A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B = 600:540 = 10:9$ છે.
જ્યારે $B$ એ $500\, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ એ $(500 - 50) = 450\, m$ દોડે છે.
તેથી,$B$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $B:C = 500:450 = 10:9$ છે.
હવે,$A$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $(A/B) \times (B/C) = (10/9) \times (10/9) = 100/81$ થાય.
$400\, m$ ની દોડમાં,જ્યારે $A$ એ $400\, m$ અંતર કાપે,ત્યારે $C$ એ $400 \times (81/100) = 324\, m$ અંતર કાપશે.
આમ,$C$ દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર $324\, m$ છે.

(B) દ્વારા $100 \, m$ કાપવા માટે લીધેલ સમય:
$T_A = \frac{100 \, m}{5 \times \frac{5}{18} \, m/s} = \frac{100 \times 18}{25} = 72 \, s$.
$A$ એ $B$ ને $8 \, m$ ની શરૂઆત આપી હોવાથી,$B$ એ ફક્ત $100 - 8 = 92 \, m$ અંતર કાપવાનું રહે છે.
$A$ એ $B$ ને $8 \, s$ થી હરાવ્યો,જેનો અર્થ છે કે $B$ ને રેસ પૂરી કરવામાં $A$ કરતા $8 \, s$ વધુ સમય લાગે છે.
$B$ દ્વારા લીધેલ સમય $(T_B)$ $= 72 + 8 = 80 \, s$.
$B$ ની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{92 \, m}{80 \, s} = 1.15 \, m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$B$ ની ઝડપ $= 1.15 \times \frac{18}{5} = 4.14 \, km/h$.

(A) ધારો કે રમત $x$ પોઈન્ટની છે.
જ્યારે $A$,$x$ પોઈન્ટ મેળવે છે,ત્યારે $B$,$(x - 20)$ પોઈન્ટ મેળવે છે અને $C$,$(x - 32)$ પોઈન્ટ મેળવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $x : (x - 20)$ છે અને $A$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $x : (x - 32)$ છે.
જ્યારે $B$,$x$ પોઈન્ટ મેળવે છે,ત્યારે $C$,$(x - 15)$ પોઈન્ટ મેળવે છે,તેથી $B$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $x : (x - 15)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\text{A ની ઝડપ}}{\text{C ની ઝડપ}} = \frac{\text{A ની ઝડપ}}{\text{B ની ઝડપ}} \times \frac{\text{B ની ઝડપ}}{\text{C ની ઝડપ}}$.
ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{x}{x - 32} = \frac{x}{x - 20} \times \frac{x}{x - 15}$.
બંને બાજુથી $x$ ને દૂર કરતા: $\frac{1}{x - 32} = \frac{x}{(x - 20)(x - 15)}$.
$(x - 20)(x - 15) = x(x - 32)$.
$x^2 - 35x + 300 = x^2 - 32x$.
$300 = 35x - 32x$.
$300 = 3x$.
$x = 100$.
આમ,રમત $100$ પોઈન્ટની છે.

(C) $50$ પોઈન્ટની રમતમાં:
જ્યારે $A$ $50$ સ્કોર કરે છે,ત્યારે $B$ $50 - 6 = 44$ સ્કોર કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ અને $B$ ની કુશળતાનો ગુણોત્તર $A/B = 50/44$ છે.
$65$ પોઈન્ટની રમતમાં:
જ્યારે $A$ $65$ સ્કોર કરે છે,ત્યારે $C$ $65 - 13 = 52$ સ્કોર કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ અને $C$ ની કુશળતાનો ગુણોત્તર $A/C = 65/52 = 5/4$ છે.
હવે,આપણે $B$ અને $C$ નો ગુણોત્તર શોધીએ:
$B/C = (B/A) \times (A/C) = (44/50) \times (65/52) = (44/50) \times (5/4) = 11/10 = 1.1$.
આ સૂચવે છે કે જ્યારે $B$ $11$ પોઈન્ટ સ્કોર કરે છે,ત્યારે $C$ $10$ પોઈન્ટ સ્કોર કરે છે.
$55$ પોઈન્ટની રમતમાં:
જ્યારે $B$ $55$ સ્કોર કરે છે,ત્યારે $C$ $(10/11) \times 55 = 50$ પોઈન્ટ સ્કોર કરે છે.
તેથી,$B$ એ $C$ ને $55 - 50 = 5$ પોઈન્ટ આપી શકે છે.

(A) $1000 \, m$ ની દોડમાં,જ્યારે $A$ $1000 \, m$ દોડે છે,ત્યારે $B$ $1000 - 80 = 920 \, m$ દોડે છે.
તેથી,$A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B = 1000:920 = 25:23$ છે.
જ્યારે $B$ $1000 \, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ $1000 - 60 = 940 \, m$ દોડે છે.
તેથી,$B$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $B:C = 1000:940 = 50:47$ છે.
$A:C$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરીએ છીએ: $\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{25}{23} \times \frac{50}{47} = \frac{1250}{1081}$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $A$ $1250 \, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ $1081 \, m$ દોડે છે.
જ્યારે $A$ $1000 \, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ $\frac{1081}{1250} \times 1000 = \frac{1081 \times 4}{5} = \frac{4324}{5} = 864.8 \, m$ દોડે છે.
તેથી,$A$ એ $C$ ને $1000 - 864.8 = 135.2 \, m$ થી હરાવે છે.

(B) $90$ પોઈન્ટની રમતમાં,જ્યારે $A$ $90$ પોઈન્ટ મેળવે છે,ત્યારે $B$ $(90 - 15) = 75$ પોઈન્ટ અને $C$ $(90 - 30) = 60$ પોઈન્ટ મેળવે છે.
આમ,તેમની સ્કોરિંગ ક્ષમતાનો ગુણોત્તર $A : B : C = 90 : 75 : 60$ છે.
$B : C$ ના ગુણોત્તરને સરળ બનાવતા,આપણને $B : C = 75 : 60 = 5 : 4$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $B$ $5$ પોઈન્ટ મેળવે છે,ત્યારે $C$ $4$ પોઈન્ટ મેળવે છે.
$100$ પોઈન્ટની રમતમાં $B$ એ $C$ ને કેટલા પોઈન્ટ આપી શકે તે શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરને એવી રીતે સ્કેલ કરીએ કે જેથી $B$ $100$ પોઈન્ટ મેળવે:
$B : C = 5 : 4 = (5 \times 20) : (4 \times 20) = 100 : 80$.
$100$ પોઈન્ટની રમતમાં,$B$ $100$ પોઈન્ટ મેળવે છે જ્યારે $C$ $80$ પોઈન્ટ મેળવે છે.
તેથી,$B$ એ $C$ ને $(100 - 80) = 20$ પોઈન્ટ આપી શકે છે.

(C) જ્યારે $A$ $600 \, m$ દોડે છે,ત્યારે $B$ $600 - 60 = 540 \, m$ દોડે છે. $A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B = 600:540 = 10:9$ છે.
જ્યારે $B$ $500 \, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ $500 - 50 = 450 \, m$ દોડે છે. $B$ અને $C$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $B:C = 500:450 = 10:9$ છે.
$A:B:C$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે,આપણે $B$ ના ભાગને સમાન કરીએ: $A:B = 100:90$ અને $B:C = 90:81$. આમ,$A:B:C = 100:90:81$.
$400 \, m$ ની દોડમાં,$A$ $400 \, m$ અંતર કાપે છે. $A$ અને $C$ નો ગુણોત્તર $100:81$ હોવાથી,જ્યારે $A$ $400 \, m$ કાપે,ત્યારે $C$ દ્વારા કપાયેલ અંતર $C = \frac{81}{100} \times 400 = 324 \, m$ થાય.
તેથી,$A$ એ $C$ ને $400 - 324 = 76 \, m$ થી હરાવશે.

(A) $75$ પોઈન્ટની રમતમાં,$A$ એ $B$ ને $25$ પોઈન્ટ આપે છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $A$ $75$ સ્કોર કરે છે,ત્યારે $B$ $75 - 25 = 50$ સ્કોર કરે છે. તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:B = 75:50 = 3:2$ છે.
$90$ પોઈન્ટની રમતમાં,$A$ એ $C$ ને $18$ પોઈન્ટ આપે છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $A$ $90$ સ્કોર કરે છે,ત્યારે $C$ $90 - 18 = 72$ સ્કોર કરે છે. તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $A:C = 90:72 = 5:4$ છે.
$B:C$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને ગુણોત્તરમાં $A$ ને સમાન કરીએ છીએ: $A:B = 3:2 = 15:10$ અને $A:C = 5:4 = 15:12$. આમ,$B:C = 10:12 = 5:6$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $C$ $6$ સ્કોર કરે છે,ત્યારે $B$ $5$ સ્કોર કરે છે. $120$ પોઈન્ટની રમતમાં,જો $C$ $120$ સ્કોર કરે,તો $B$ $\frac{5}{6} \times 120 = 100$ સ્કોર કરશે.
તેથી,$C$ એ $B$ ને $120 - 100 = 20$ પોઈન્ટ આપી શકે છે.

(D) અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $5:4$ છે. આનો અર્થ એ છે કે સમાન સમયગાળામાં,$A$ એ $5$ એકમ અંતર કાપ્યું છે જ્યારે $B$ એ $4$ એકમ અંતર કાપ્યું છે.
ગોળાકાર દોડમાં,વિજેતા બીજા વ્યક્તિને ત્યારે ઓવરટેક કરે છે જ્યારે તેમના દ્વારા પૂર્ણ કરાયેલા રાઉન્ડ (લેપ્સ) ની સંખ્યાનો તફાવત પૂર્ણાંક હોય.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $5:4$ હોવાથી,$A$ દ્વારા પૂર્ણ કરાયેલા દરેક $5$ રાઉન્ડ માટે,$B$ $4$ રાઉન્ડ પૂર્ણ કરે છે. રાઉન્ડનો તફાવત $5 - 4 = 1$ રાઉન્ડ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ દરેક $5$ રાઉન્ડ પૂર્ણ કરવા પર $B$ ને એકવાર ઓવરટેક કરે છે.
દોડનું કુલ અંતર $5\, km = 5000\, m$ છે. એક રાઉન્ડની લંબાઈ $400\, m$ છે.
$A$ દ્વારા પૂર્ણ કરાયેલા કુલ રાઉન્ડ $= \frac{5000}{400} = 12.5$ રાઉન્ડ.
$A$ દર $5$ રાઉન્ડે $B$ ને એકવાર ઓવરટેક કરતો હોવાથી,$A$ દ્વારા $B$ ને ઓવરટેક કરવાની કુલ સંખ્યા $= \frac{12.5}{5} = 2.5$ અથવા $2 \frac{1}{2}$ વખત છે.

(C) અંતિમ રેખા સુધી પહોંચવા માટે,$A$ એ $(500 - 140) = 360\, m$ નું અંતર કાપવું પડશે.
$A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $3:4$ છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $A$ એ $3\, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $B$ એ $4\, m$ અંતર કાપે છે.
જ્યારે $A$ એ $360\, m$ અંતર કાપે છે,ત્યારે $B$ દ્વારા કપાયેલું અંતર નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$B$ દ્વારા કપાયેલું અંતર $= \frac{4}{3} \times 360 = 480\, m$.
દોડનું કુલ અંતર $500\, m$ હોવાથી,જ્યારે $A$ અંતિમ રેખા પર પહોંચે છે ત્યારે $B$ અંતિમ રેખાથી $(500 - 480) = 20\, m$ દૂર હોય છે.
તેથી,$A$ એ $20\, m$ થી જીતે છે.

(A) $1000\, m$ ની દોડમાં,જ્યારે $A$ $1000\, m$ દોડે છે,ત્યારે $B$ $1000 - 100 = 900\, m$ દોડે છે.
જ્યારે $A$ $1000\, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ $1000 - 200 = 800\, m$ દોડે છે.
તેથી,$B$ અને $C$ દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો ગુણોત્તર $B : C = 900 : 800 = 9 : 8$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે $B$ $9\, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ $8\, m$ દોડે છે.
$1350\, m$ ની દોડમાં,જ્યારે $B$ $1350\, m$ દોડે છે,ત્યારે $C$ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $\frac{8}{9} \times 1350 = 8 \times 150 = 1200\, m$ થાય.
આમ,$B$ એ $C$ ને $1350 - 1200 = 150\, m$ થી હરાવી શકે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ઝડપને $\text{km/h}$ માંથી $\text{m/s}$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો.
$A$ ની ઝડપ $= 4.5 \times \frac{5}{18} = \frac{9}{2} \times \frac{5}{18} = 1.25 \text{ m/s} = \frac{5}{4} \text{ m/s}$.
$B$ ની ઝડપ $= 6 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{3} \text{ m/s}$.
$A$ ને $190 \text{ m}$ ની લીડ મળેલી છે,તેથી $A$ એ ફિનિશ લાઇન સુધી પહોંચવા માટે માત્ર $1000 - 190 = 810 \text{ m}$ અંતર કાપવાનું છે.
$B$ એ સંપૂર્ણ $1000 \text{ m}$ અંતર કાપવાનું છે.
$B$ દ્વારા રેસ પૂર્ણ કરવા માટે લેવાયેલ સમય $= \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{1000}{5/3} = 1000 \times \frac{3}{5} = 600 \text{ સેકન્ડ}$.
આ $600 \text{ સેકન્ડ}$ માં,$A$ દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર $= \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = \frac{5}{4} \times 600 = 750 \text{ m}$.
$A$ એ $810 \text{ m}$ અંતર કાપવાનું હતું,પરંતુ તેણે માત્ર $750 \text{ m}$ અંતર કાપ્યું,તેથી $B$ એ $810 - 750 = 60 \text{ m}$ ના અંતરથી જીત મેળવી.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ દ્વારા $1 \, km$ $(1000 \, m)$ દોડવા માટે લેવાયેલ સમય (સેકન્ડમાં) અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
કિસ્સો $1$: $A$,$B$ ને $50 \, m$ ની શરૂઆત આપે છે. $B$,$950 \, m$ અંતર $y$ સમયમાં કાપે છે,જ્યારે $A$,$1000 \, m$ અંતર $x$ સમયમાં કાપે છે. $A$,$14 \, sec$ થી જીતે છે,તેથી $A$ ને $B$ કરતા $14 \, sec$ ઓછા લાગે છે.
$B$ દ્વારા $950 \, m$ દોડવા માટે લેવાયેલ સમય = $\frac{950}{1000} y = 0.95 y$.
તેથી,$0.95 y - x = 14$ $....(1)$
કિસ્સો $2$: $A$,$B$ ને $22 \, sec$ ની શરૂઆત આપે છે. $A$,$(y - 22) \, sec$ માટે દોડે છે અને $B$,$y \, sec$ માટે દોડે છે. $B$,$20 \, m$ થી જીતે છે,એટલે કે $B$ $1000 \, m$ કાપે છે જ્યારે $A$ $980 \, m$ કાપે છે.
$A$ ની ઝડપ = $\frac{1000}{x} \, m/sec$.
$(y - 22) \, sec$ માં $A$ દ્વારા કપાયેલ અંતર = $\frac{1000}{x} (y - 22) = 980$.
$1000(y - 22) = 980x \Rightarrow 100y - 2200 = 98x \Rightarrow 50y - 49x = 1100$ $....(2)$
$(1)$ પરથી,$x = 0.95y - 14$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$50y - 49(0.95y - 14) = 1100$
$50y - 46.55y + 686 = 1100$
$3.45y = 414 \Rightarrow y = 120 \, sec$.
$y = 120$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$x = 0.95(120) - 14 = 114 - 14 = 100 \, sec$.

(B) ની ઝડપ $= 5\, km/h = 5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18}\, m/s$.
$A$ દ્વારા $100\, m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{100}{25/18} = 100 \times \frac{18}{25} = 72\, s$.
$A$ એ $B$ ને $8\, m$ ની શરૂઆત આપી હોવાથી,$B$ એ માત્ર $100 - 8 = 92\, m$ અંતર કાપવાનું રહે છે.
$A$ એ $B$ ને $8\, s$ થી હરાવ્યો છે,તેથી $B$ ને $92\, m$ અંતર કાપતા $72 + 8 = 80\, s$ લાગે છે.
$B$ ની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{92}{80}\, m/s$.
તેને $km/h$ માં ફેરવવા માટે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણતા:
$B$ ની ઝડપ $= \frac{92}{80} \times \frac{18}{5} = 1.15 \times 3.6 = 4.14\, km/h$.

(A) દોડવીરો પ્રથમ વખત શરૂઆતના બિંદુએ ક્યારે મળશે તે શોધવા માટે,આપણે દરેક દોડવીર દ્વારા એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લીધેલા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(L.C.M.)$ શોધવો પડશે.
દોડવીરો દ્વારા લેવાયેલ સમય $200$,$300$,$360$ અને $450$ સેકન્ડ છે.
આ સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ:
$200 = 2^3 \times 5^2$
$300 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2$
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
$450 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2$
$L.C.M. = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800$ સેકન્ડ.
તેથી,તેઓ $1800$ સેકન્ડ પછી શરૂઆતના બિંદુએ મળશે.

(D) રાજુ સોમવાર અને શુક્રવારે $1250\, m$ દોડે છે. આ $2$ દિવસો માટેનું કુલ અંતર $= 1250 \times 2 = 2500\, m$ થાય.
મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર અને શનિવાર (કુલ $4$ દિવસ) દરમિયાન,તે દરરોજ $1500\, m$ દોડે છે. આ $4$ દિવસો માટેનું કુલ અંતર $= 1500 \times 4 = 6000\, m$ થાય.
તે રવિવારે દોડતો નથી.
$1$ અઠવાડિયામાં કાપેલું કુલ અંતર $= 2500 + 6000 = 8500\, m$ થાય.
$3$ અઠવાડિયામાં કાપેલું કુલ અંતર $= 3 \times 8500 = 25500\, m$ થાય.
$1000\, m = 1\, km$ હોવાથી,કિલોમીટરમાં અંતર $= 25500 / 1000 = 25.5\, km$ થાય.

(C) ધારો કે કાર,ટ્રેન અને બસની ઝડપ અનુક્રમે $5x$,$9x$ અને $4x$ છે.
આપેલ છે કે કાર,બસ અને ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ $72 \text{ km/h}$ છે.
તેથી,તેમની ઝડપનો સરવાળો $5x + 9x + 4x = 72 \times 3$ થશે.
$18x = 216$.
$x = \frac{216}{18} = 12$.
આમ,કારની ઝડપ $5 \times 12 = 60 \text{ km/h}$ અને ટ્રેનની ઝડપ $9 \times 12 = 108 \text{ km/h}$ છે.
કાર અને ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ $\frac{60 + 108}{2} = \frac{168}{2} = 84 \text{ km/h}$ થાય.

(C) સૌ પ્રથમ,કમલની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$18\, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$.
કમલને $100\, m$ ની દોડ પૂરી કરવામાં લાગતો સમય:
$T_K = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{100}{5} = 20\, s$.
કમલ બિમલને $5$ સેકન્ડથી હરાવે છે,તેથી બિમલને કમલ કરતા $5$ સેકન્ડ વધુ લાગે છે:
$T_B = 20 + 5 = 25\, s$.
હવે,બિમલની ઝડપ $m/s$ માં શોધો:
$V_B = \frac{100}{25} = 4\, m/s$.
છેલ્લે,બિમલની ઝડપને ફરીથી $km/h$ માં ફેરવો:
$V_B = 4 \times \frac{18}{5} = 14.4\, km/h$.