Races and Games Questions in Hindi

(D) $100$ अंकों के खेल में,यदि $P$,$Q$ को $10$ अंक देता है,तो इसका मतलब है कि जब $P$ $100$ अंक बनाता है,तो $Q$ $90$ अंक बनाता है।
अतः,अनुपात $P : Q = 100 : 90 = 10 : 9$ है।
यदि $P$,$R$ को $28$ अंक देता है,तो इसका मतलब है कि जब $P$ $100$ अंक बनाता है,तो $R$ $72$ अंक बनाता है।
अतः,अनुपात $P : R = 100 : 72 = 25 : 18$ है।
$Q : R$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम गणना करते हैं:
$\frac{Q}{R} = \frac{Q}{P} \times \frac{P}{R} = \frac{90}{100} \times \frac{100}{72} = \frac{90}{72} = \frac{5}{4}$ है।
इसे $Q$ के लिए $100$ अंकों के खेल के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए,हम अंश और हर को $20$ से गुणा करते हैं:
$\frac{Q}{R} = \frac{5 \times 20}{4 \times 20} = \frac{100}{80}$ है।
इसका मतलब है कि जब $Q$ $100$ अंक बनाता है,तो $R$ $80$ अंक बनाता है।
इसलिए,$Q$,$R$ को $100 - 80 = 20$ अंक दे सकता है।

(B) $200\,m$ की दौड़ में,जब $A$,$200\,m$ की दूरी तय करता है,तो $B$,$(200 - 31) = 169\,m$ और $C$,$(200 - 18) = 182\,m$ की दूरी तय करता है।
इस प्रकार,उनकी गति का अनुपात $A:B:C = 200:169:182$ है।
यह पता लगाने के लिए कि $C$,$B$ को कितनी दूरी से हराएगा,हम $C$ और $B$ की तुलना करते हैं: $\frac{C}{B} = \frac{182}{169}$.
इसका अर्थ है कि जब $C$,$182\,m$ की दूरी तय करता है,तो $B$,$169\,m$ की दूरी तय करता है,अर्थात $182\,m$ की दौड़ में $C$,$B$ को $(182 - 169) = 13\,m$ से हराता है।
$280\,m$ की दौड़ में,$C$ द्वारा $B$ को हराने की दूरी इस प्रकार है: $\text{Gain} = \left(\frac{13}{182}\right) \times 280 = \frac{1}{14} \times 280 = 20\,m$.
अतः,$C$,$B$ को $20\,m$ से हराएगा।

(B) $100\, m$ की दौड़ में,$A$ $100\, m$ की दूरी तय करता है,$B$ $90\, m$ की दूरी तय करता है,और $C$ $80\, m$ की दूरी तय करता है।
अतः,$B$ और $C$ की गति का अनुपात $B:C = 90:80 = 9:8$ है।
इसका अर्थ है कि $B$ द्वारा तय की गई प्रत्येक $9\, m$ की दूरी के लिए,$C$ $8\, m$ की दूरी तय करता है।
$180\, m$ की दौड़ में,जब $B$ $180\, m$ की दूरी तय करता है,तो $C$ $\left(\frac{8}{9} \times 180\right) = 160\, m$ की दूरी तय करेगा।
इसलिए,$B$,$C$ को $180 - 160 = 20\, m$ की दूरी से हराएगा।

(B) दौड़ की कुल लंबाई $500\, m$ है।
$A$ को $140\, m$ की शुरुआत दी गई है,जिसका अर्थ है कि $A$ को फिनिश लाइन तक पहुँचने के लिए केवल $500 - 140 = 360\, m$ की दूरी तय करनी है।
$A$ और $B$ की गति का अनुपात $4:5$ है। इसका मतलब है कि $A$ द्वारा तय की गई प्रत्येक $4\, m$ की दूरी के लिए,$B$ $5\, m$ की दूरी तय करता है।
जब $A$ $360\, m$ की दूरी तय करता है,तो $B$ द्वारा तय की गई दूरी: $\frac{5}{4} \times 360 = 450\, m$ होती है।
जिस समय $A$ $360\, m$ की दूरी तय करके फिनिश लाइन पर पहुँचता है,उसी समय $B$ $450\, m$ की दूरी तय करता है,यानी $B$ अभी भी फिनिश लाइन से $500 - 450 = 50\, m$ दूर है।
अतः,$A$ $50\, m$ से दौड़ जीतता है।

(C) जब $B$,$25\, m$ दौड़ता है,तो $A$,$23\, m$ दौड़ता है।
$1000\, m$ (अर्थात $1\, km$) की दौड़ में,जब $B$ पूरी $1000\, m$ की दूरी तय करता है,तो $A$ द्वारा तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है:
$A$ द्वारा तय की गई दूरी $= \left(\frac{23}{25} \times 1000\right)\, m = 920\, m$।
अतः,$B$,$A$ को उनकी दूरियों के अंतर से हराता है:
$B$,$A$ को $= 1000\, m - 920\, m = 80\, m$ से हराता है।

$(A)$ ने $5\, s$ में $25\, m$ की दूरी तय की।
$B$ की गति $= \frac{25\, m}{5\, s} = 5\, m/s$ है।
$B$ द्वारा $1\, km$ $(1000\, m)$ की दूरी तय करने में लिया गया समय $= \frac{1000\, m}{5\, m/s} = 200\, s$ है।
चूंकि $A$ ने $B$ को $5\, s$ से हराया, इसलिए $A$ ने $B$ से $5\, s$ पहले दौड़ पूरी की।
$A$ का समय $= 200\, s - 5\, s = 195\, s$ है।
$195\, s = 3\, \text{मिनट } 15\, \text{सेकंड}$।

(B) $300 \text{ m}$ की दौड़ में,$A$ ने $B$ को $15 \text{ m}$ या $5 \text{ s}$ से हराया। इसका अर्थ है कि $B$ शेष $15 \text{ m}$ की दूरी $5 \text{ s}$ में तय करता है।
सबसे पहले,$B$ की गति ज्ञात करें:
$B$ की गति $= \frac{15 \text{ m}}{5 \text{ s}} = 3 \text{ m/s}$.
अब,$B$ द्वारा $300 \text{ m}$ की दौड़ पूरी करने में लिया गया कुल समय ज्ञात करें:
$B$ द्वारा लिया गया समय $= \frac{300 \text{ m}}{3 \text{ m/s}} = 100 \text{ s}$.
चूंकि $A$ ने $B$ को $5 \text{ s}$ से हराया है,इसलिए $A$ ने $B$ से $5 \text{ s}$ पहले दौड़ पूरी की:
$A$ द्वारा लिया गया समय $= 100 \text{ s} - 5 \text{ s} = 95 \text{ s}$.

(C) द्वारा $1 \ km$ $(1000 \ m)$ दौड़ने में लिया गया समय $= 30 \times 2 = 60 \text{ सेकंड}$.
$B$ द्वारा $1 \ km$ $(1000 \ m)$ दौड़ने में लिया गया समय $= 35 \times 2 = 70 \text{ सेकंड}$.
दौड़ बराबरी (dead-heat) पर समाप्त हो,इसके लिए $A$ को $B$ को उस समय के अंतर के बराबर दूरी की शुरुआत देनी होगी जो $B$ तय करता है।
समय का अंतर $= 70 - 60 = 10 \text{ सेकंड}$.
चूंकि $B$,$35 \text{ सेकंड में } 500 \ m$ दौड़ता है,इसलिए $B$ की गति $= \frac{500}{35} \text{ m/s}$.
$10 \text{ सेकंड में } B$ द्वारा तय की गई दूरी $= \frac{500}{35} \times 10 = \frac{5000}{35} = \frac{1000}{7} = 142 \frac{6}{7} \text{ मीटर}$.
अतः,$A$,$1 \ km$ की दौड़ में $B$ को $142 \frac{6}{7} \text{ मीटर}$ की शुरुआत दे सकता है।

(B) और $B$ की गति का अनुपात $1 \frac{3}{8} : 1 = \frac{11}{8} : 1 = 11 : 8$ है।
मान लीजिए $A$ की गति $11v$ है और $B$ की गति $8v$ है।
मान लीजिए दौड़ की कुल दूरी $x \, m$ है।
चूंकि $A$ ने $B$ को $120 \, m$ की शुरुआत दी है,इसलिए जब $A$ ने $x \, m$ की दूरी तय की है,तब $B$ ने $(x - 120) \, m$ की दूरी तय की है।
चूंकि वे एक ही समय पर लक्ष्य तक पहुँचते हैं,इसलिए दोनों द्वारा लिया गया समय समान है।
समय = $\frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$.
इसलिए,$\frac{x}{11v} = \frac{x - 120}{8v}$.
दोनों पक्षों से $v$ को हटाने पर,हमें $\frac{x}{11} = \frac{x - 120}{8}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $8x = 11(x - 120)$ प्राप्त होता है।
$8x = 11x - 1320$.
$11x - 8x = 1320$.
$3x = 1320$.
$x = 440 \, m$.

(A) $100$ अंकों के खेल में,जब $A$ $100$ अंक प्राप्त करता है,तो $B$ $100 - 20 = 80$ अंक और $C$ $100 - 28 = 72$ अंक प्राप्त करता है।
इसका अर्थ है कि जब $B$ $80$ अंक प्राप्त करता है,तो $C$ $72$ अंक प्राप्त करता है।
यह ज्ञात करने के लिए कि $100$ अंकों के खेल में $B$,$C$ को कितने अंक दे सकता है,हम $B$ के $100$ अंक प्राप्त करने पर $C$ के स्कोर की गणना करते हैं।
यदि $B$ $100$ अंक प्राप्त करता है,तो $C$ $\frac{72}{80} \times 100 = 0.9 \times 100 = 90$ अंक प्राप्त करेगा।
अतः,$B$,$C$ को $100 - 90 = 10$ अंकों की बढ़त दे सकता है।

(B) माना कि $B$ की गति $v$ है। तब $A$ की गति $\frac{3}{2}v$ होगी।
$A$ और $B$ की गति का अनुपात $A:B = \frac{3}{2}v : v = 3:2$ है।
इसका अर्थ है कि एक दौड़ में जहाँ $A$,$3 \, m$ की दूरी तय करता है,$B$,$2 \, m$ की दूरी तय करता है।
इस स्थिति में,$A$,$B$ पर हर $3 \, m$ की दौड़ में $(3 - 2) = 1 \, m$ की बढ़त बनाता है।
हमें दिया गया है कि $A$,$B$ को $300 \, m$ की शुरुआत देता है,जिसका अर्थ है कि दोनों को एक साथ विनिंग पोस्ट पर पहुँचने के लिए $A$ को $B$ पर $300 \, m$ की बढ़त बनानी होगी।
यदि $1 \, m$ की बढ़त के लिए दौड़ की लंबाई $3 \, m$ है,तो $300 \, m$ की बढ़त के लिए दौड़ की लंबाई $3 \times 300 = 900 \, m$ होगी।

(C) जब $A$,$600\, m$ दौड़ता है,तो $B$,$(600 - 60) = 540\, m$ दौड़ता है।
अतः,$A$ और $B$ की गति का अनुपात $A:B = 600:540 = 10:9$ है।
जब $B$,$500\, m$ दौड़ता है,तो $C$,$(500 - 50) = 450\, m$ दौड़ता है।
अतः,$B$ और $C$ की गति का अनुपात $B:C = 500:450 = 10:9$ है।
अब,$A$ और $C$ की गति का अनुपात $(A/B) \times (B/C) = (10/9) \times (10/9) = 100/81$ है।
$400\, m$ की दौड़ में,जब $A$,$400\, m$ की दूरी तय करता है,तो $C$,$400 \times (81/100) = 324\, m$ की दूरी तय करेगा।
अतः,$C$ द्वारा तय की गई दूरी $324\, m$ है।

(B) द्वारा $100 \, m$ की दूरी तय करने में लिया गया समय:
$T_A = \frac{100 \, m}{5 \times \frac{5}{18} \, m/s} = \frac{100 \times 18}{25} = 72 \, s$.
चूंकि $A$ ने $B$ को $8 \, m$ की शुरुआत दी है,इसलिए $B$ को केवल $100 - 8 = 92 \, m$ की दूरी तय करनी है।
$A$ ने $B$ को $8 \, s$ से हराया,जिसका अर्थ है कि $B$ को दौड़ पूरी करने में $A$ से $8 \, s$ अधिक समय लगता है।
$B$ द्वारा लिया गया समय $(T_B)$ $= 72 + 8 = 80 \, s$.
$B$ की चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{92 \, m}{80 \, s} = 1.15 \, m/s$.
$km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$B$ की चाल $= 1.15 \times \frac{18}{5} = 4.14 \, km/h$.

(A) मान लीजिए खेल $x$ अंकों का है।
जब $A$,$x$ अंक प्राप्त करता है,तो $B$,$(x - 20)$ अंक प्राप्त करता है और $C$,$(x - 32)$ अंक प्राप्त करता है।
इसका अर्थ है कि $A$ और $B$ की गति का अनुपात $x : (x - 20)$ है और $A$ और $C$ की गति का अनुपात $x : (x - 32)$ है।
जब $B$,$x$ अंक प्राप्त करता है,तो $C$,$(x - 15)$ अंक प्राप्त करता है,इसलिए $B$ और $C$ की गति का अनुपात $x : (x - 15)$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{\text{A की गति}}{\text{C की गति}} = \frac{\text{A की गति}}{\text{B की गति}} \times \frac{\text{B की गति}}{\text{C की गति}}$.
अनुपात रखने पर: $\frac{x}{x - 32} = \frac{x}{x - 20} \times \frac{x}{x - 15}$.
दोनों पक्षों से $x$ को हटाने पर: $\frac{1}{x - 32} = \frac{x}{(x - 20)(x - 15)}$.
$(x - 20)(x - 15) = x(x - 32)$.
$x^2 - 35x + 300 = x^2 - 32x$.
$300 = 35x - 32x$.
$300 = 3x$.
$x = 100$.
अतः,खेल $100$ अंकों का है।

(C) $50$ अंकों के खेल में:
जब $A$ $50$ अंक बनाता है,तो $B$ $50 - 6 = 44$ अंक बनाता है।
इसका अर्थ है कि $A$ और $B$ की दक्षता का अनुपात $A/B = 50/44$ है।
$65$ अंकों के खेल में:
जब $A$ $65$ अंक बनाता है,तो $C$ $65 - 13 = 52$ अंक बनाता है।
इसका अर्थ है कि $A$ और $C$ की दक्षता का अनुपात $A/C = 65/52 = 5/4$ है।
अब,हम $B$ और $C$ का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$B/C = (B/A) \times (A/C) = (44/50) \times (65/52) = (44/50) \times (5/4) = 11/10 = 1.1$।
यह दर्शाता है कि जब $B$ $11$ अंक बनाता है,तो $C$ $10$ अंक बनाता है।
$55$ अंकों के खेल में:
जब $B$ $55$ अंक बनाता है,तो $C$ $(10/11) \times 55 = 50$ अंक बनाता है।
अतः,$B$,$C$ को $55 - 50 = 5$ अंक दे सकता है।

(A) $1000 \, m$ की दौड़ में,जब $A$ $1000 \, m$ दौड़ता है,तो $B$ $1000 - 80 = 920 \, m$ दौड़ता है।
अतः,$A$ और $B$ की गति का अनुपात $A:B = 1000:920 = 25:23$ है।
जब $B$ $1000 \, m$ दौड़ता है,तो $C$ $1000 - 60 = 940 \, m$ दौड़ता है।
अतः,$B$ और $C$ की गति का अनुपात $B:C = 1000:940 = 50:47$ है।
$A:C$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम अनुपातों का गुणा करते हैं: $\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{25}{23} \times \frac{50}{47} = \frac{1250}{1081}$।
इसका अर्थ है कि जब $A$ $1250 \, m$ दौड़ता है,तो $C$ $1081 \, m$ दौड़ता है।
जब $A$ $1000 \, m$ दौड़ता है,तो $C$ $\frac{1081}{1250} \times 1000 = \frac{1081 \times 4}{5} = \frac{4324}{5} = 864.8 \, m$ दौड़ता है।
अतः,$A$,$C$ को $1000 - 864.8 = 135.2 \, m$ से हराता है।

(B) $90$ अंकों के खेल में,जब $A$ $90$ अंक प्राप्त करता है,तो $B$ $(90 - 15) = 75$ अंक और $C$ $(90 - 30) = 60$ अंक प्राप्त करता है।
इस प्रकार,उनकी स्कोरिंग क्षमता का अनुपात $A : B : C = 90 : 75 : 60$ है।
$B : C$ के अनुपात को सरल करने पर,हमें $B : C = 75 : 60 = 5 : 4$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि जब $B$ $5$ अंक प्राप्त करता है,तो $C$ $4$ अंक प्राप्त करता है।
$100$ अंकों के खेल में $B$,$C$ को कितने अंक दे सकता है,यह ज्ञात करने के लिए हम अनुपात को इस प्रकार स्केल करते हैं कि $B$ $100$ अंक प्राप्त करे:
$B : C = 5 : 4 = (5 \times 20) : (4 \times 20) = 100 : 80$.
$100$ अंकों के खेल में,$B$ $100$ अंक प्राप्त करता है जबकि $C$ $80$ अंक प्राप्त करता है।
अतः,$B$,$C$ को $(100 - 80) = 20$ अंक दे सकता है।

(C) जब $A$ $600 \, m$ दौड़ता है,तो $B$ $600 - 60 = 540 \, m$ दौड़ता है। $A$ और $B$ की गति का अनुपात $A:B = 600:540 = 10:9$ है।
जब $B$ $500 \, m$ दौड़ता है,तो $C$ $500 - 50 = 450 \, m$ दौड़ता है। $B$ और $C$ की गति का अनुपात $B:C = 500:450 = 10:9$ है।
$A:B:C$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम $B$ के भाग को समान करते हैं: $A:B = 100:90$ और $B:C = 90:81$। अतः,$A:B:C = 100:90:81$।
$400 \, m$ की दौड़ में,$A$ $400 \, m$ की दूरी तय करता है। चूंकि $A$ और $C$ का अनुपात $100:81$ है,इसलिए जब $A$ $400 \, m$ तय करता है,तो $C$ द्वारा तय की गई दूरी $C = \frac{81}{100} \times 400 = 324 \, m$ होगी।
अतः,$A$,$C$ को $400 - 324 = 76 \, m$ से हराएगा।

(A) $75$ अंकों के खेल में,$A$ $B$ को $25$ अंक देता है। इसका मतलब है कि जब $A$ $75$ स्कोर करता है,तो $B$ $75 - 25 = 50$ स्कोर करता है। उनकी गति का अनुपात $A:B = 75:50 = 3:2$ है।
$90$ अंकों के खेल में,$A$ $C$ को $18$ अंक देता है। इसका मतलब है कि जब $A$ $90$ स्कोर करता है,तो $C$ $90 - 18 = 72$ स्कोर करता है। उनकी गति का अनुपात $A:C = 90:72 = 5:4$ है।
$B:C$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों अनुपातों में $A$ को समान करते हैं: $A:B = 3:2 = 15:10$ और $A:C = 5:4 = 15:12$। इस प्रकार,$B:C = 10:12 = 5:6$ है।
इसका मतलब है कि जब $C$ $6$ स्कोर करता है,तो $B$ $5$ स्कोर करता है। $120$ अंकों के खेल में,यदि $C$ $120$ स्कोर करता है,तो $B$ $\frac{5}{6} \times 120 = 100$ स्कोर करेगा।
अतः,$C$ $B$ को $120 - 100 = 20$ अंक दे सकता है।

(D) और $B$ की गति का अनुपात $5:4$ है। इसका अर्थ है कि समान समय अंतराल में,$A$ ने $5$ इकाई दूरी तय की है जबकि $B$ ने $4$ इकाई दूरी तय की है।
गोलाकार दौड़ में,विजेता दूसरे व्यक्ति को तब पार करता है जब उनके द्वारा पूरे किए गए चक्करों (लैप्स) की संख्या का अंतर एक पूर्णांक होता है।
चूंकि उनकी गति का अनुपात $5:4$ है,$A$ द्वारा पूरे किए गए प्रत्येक $5$ चक्करों के लिए,$B$ $4$ चक्कर पूरे करता है। चक्करों का अंतर $5 - 4 = 1$ चक्कर है।
इसका मतलब है कि $A$ हर $5$ चक्कर पूरे करने पर $B$ को एक बार पार करता है।
दौड़ की कुल दूरी $5\, km = 5000\, m$ है। एक चक्कर की लंबाई $400\, m$ है।
$A$ द्वारा पूरे किए गए कुल चक्कर $= \frac{5000}{400} = 12.5$ चक्कर।
चूंकि $A$ हर $5$ चक्कर पर $B$ को एक बार पार करता है,इसलिए $A$ द्वारा $B$ को पार करने की कुल संख्या $= \frac{12.5}{5} = 2.5$ या $2 \frac{1}{2}$ बार है।

(C) अंतिम रेखा तक पहुँचने के लिए,$A$ को $(500 - 140) = 360\, m$ की दूरी तय करनी होगी।
$A$ और $B$ की गति का अनुपात $3:4$ है। इसका अर्थ है कि जब $A$ $3\, m$ की दूरी तय करता है,तो $B$ $4\, m$ की दूरी तय करता है।
जब $A$ $360\, m$ की दूरी तय करता है,तो $B$ द्वारा तय की गई दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है:
$B$ द्वारा तय की गई दूरी $= \frac{4}{3} \times 360 = 480\, m$।
चूंकि दौड़ की कुल दूरी $500\, m$ है,इसलिए जब $A$ अंतिम रेखा पर पहुँचता है,तो $B$ अंतिम रेखा से $(500 - 480) = 20\, m$ पीछे होता है।
अतः,$A$ $20\, m$ से जीतता है।

(A) $1000\, m$ की दौड़ में,जब $A$ $1000\, m$ दौड़ता है,तो $B$ $1000 - 100 = 900\, m$ दौड़ता है।
जब $A$ $1000\, m$ दौड़ता है,तो $C$ $1000 - 200 = 800\, m$ दौड़ता है।
इसलिए,$B$ और $C$ द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात $B : C = 900 : 800 = 9 : 8$ है।
इसका अर्थ है कि जब $B$ $9\, m$ दौड़ता है,तो $C$ $8\, m$ दौड़ता है।
$1350\, m$ की दौड़ में,जब $B$ $1350\, m$ दौड़ता है,तो $C$ द्वारा तय की गई दूरी $\frac{8}{9} \times 1350 = 8 \times 150 = 1200\, m$ होगी।
अतः,$B$ ने $C$ को $1350 - 1200 = 150\, m$ से हराया।

(A) सबसे पहले,गति को $\text{km/h}$ से $\text{m/s}$ में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें।
$A$ की गति $= 4.5 \times \frac{5}{18} = \frac{9}{2} \times \frac{5}{18} = 1.25 \text{ m/s} = \frac{5}{4} \text{ m/s}$.
$B$ की गति $= 6 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{3} \text{ m/s}$.
$A$ को $190 \text{ m}$ की बढ़त मिली है,इसलिए $A$ को फिनिश लाइन तक पहुँचने के लिए केवल $1000 - 190 = 810 \text{ m}$ की दूरी तय करनी है।
$B$ को पूरी $1000 \text{ m}$ की दूरी तय करनी है।
$B$ द्वारा दौड़ पूरी करने में लिया गया समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{1000}{5/3} = 1000 \times \frac{3}{5} = 600 \text{ सेकंड}$.
इन $600 \text{ सेकंड}$ में,$A$ द्वारा तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = \frac{5}{4} \times 600 = 750 \text{ m}$.
चूंकि $A$ को $810 \text{ m}$ की दूरी तय करनी थी,लेकिन उसने केवल $750 \text{ m}$ की दूरी तय की,इसलिए $B$ ने $810 - 750 = 60 \text{ m}$ की दूरी से जीत हासिल की।

(A) माना $A$ और $B$ द्वारा $1 \, km$ $(1000 \, m)$ दौड़ने में लिया गया समय (सेकंड में) क्रमशः $x$ और $y$ है।
स्थिति $1$: $A$,$B$ को $50 \, m$ की शुरुआत देता है। $B$,$950 \, m$ की दूरी $y$ समय में तय करता है,जबकि $A$,$1000 \, m$ की दूरी $x$ समय में तय करता है। चूंकि $A$,$14 \, sec$ से जीतता है,इसलिए $A$ को $B$ से $14 \, sec$ कम समय लगता है।
$B$ द्वारा $950 \, m$ दौड़ने में लिया गया समय = $\frac{950}{1000} y = 0.95 y$.
अतः,$0.95 y - x = 14$ $....(1)$
स्थिति $2$: $A$,$B$ को $22 \, sec$ की शुरुआत देता है। $A$,$(y - 22) \, sec$ के लिए दौड़ता है और $B$,$y \, sec$ के लिए दौड़ता है। $B$,$20 \, m$ से जीतता है,जिसका अर्थ है कि $B$ $1000 \, m$ तय करता है जबकि $A$ $980 \, m$ तय करता है।
$A$ की गति = $\frac{1000}{x} \, m/sec$.
$(y - 22) \, sec$ में $A$ द्वारा तय की गई दूरी = $\frac{1000}{x} (y - 22) = 980$.
$1000(y - 22) = 980x \Rightarrow 100y - 2200 = 98x \Rightarrow 50y - 49x = 1100$ $....(2)$
$(1)$ से,$x = 0.95y - 14$। इसे $(2)$ में रखने पर:
$50y - 49(0.95y - 14) = 1100$
$50y - 46.55y + 686 = 1100$
$3.45y = 414 \Rightarrow y = 120 \, sec$.
$y = 120$ को $(1)$ में रखने पर:
$x = 0.95(120) - 14 = 114 - 14 = 100 \, sec$.

(B) की चाल $= 5\, km/h = 5 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{18}\, m/s$.
$A$ द्वारा $100\, m$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{100}{25/18} = 100 \times \frac{18}{25} = 72\, s$.
चूंकि $A$ ने $B$ को $8\, m$ की शुरुआत दी है,इसलिए $B$ को केवल $100 - 8 = 92\, m$ की दूरी तय करनी है।
$A$ ने $B$ को $8\, s$ से हराया है,इसलिए $B$ को $92\, m$ की दूरी तय करने में $72 + 8 = 80\, s$ का समय लगा।
$B$ की चाल $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{92}{80}\, m/s$.
इसे $km/h$ में बदलने के लिए $\frac{18}{5}$ से गुणा करने पर:
$B$ की चाल $= \frac{92}{80} \times \frac{18}{5} = 1.15 \times 3.6 = 4.14\, km/h$.

(A) यह पता लगाने के लिए कि धावक पहली बार शुरुआती बिंदु पर कब मिलेंगे,हमें प्रत्येक धावक द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(L.C.M.)$ ज्ञात करना होगा।
धावकों द्वारा लिया गया समय $200$,$300$,$360$ और $450$ सेकंड है।
इन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$200 = 2^3 \times 5^2$
$300 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2$
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
$450 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2$
$L.C.M. = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800$ सेकंड।
अतः,वे $1800$ सेकंड के बाद शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।

(D) राजू सोमवार और शुक्रवार को $1250\, m$ दौड़ता है। इन $2$ दिनों के लिए कुल दूरी $= 1250 \times 2 = 2500\, m$ है।
मंगलवार,बुधवार,गुरुवार और शनिवार (कुल $4$ दिन) को,वह प्रतिदिन $1500\, m$ दौड़ता है। इन $4$ दिनों के लिए कुल दूरी $= 1500 \times 4 = 6000\, m$ है।
वह रविवार को नहीं दौड़ता है।
$1$ सप्ताह में तय की गई कुल दूरी $= 2500 + 6000 = 8500\, m$ है।
$3$ सप्ताह में तय की गई कुल दूरी $= 3 \times 8500 = 25500\, m$ है।
चूंकि $1000\, m = 1\, km$ होता है,इसलिए किलोमीटर में दूरी $= 25500 / 1000 = 25.5\, km$ होगी।

(C) माना कि कार,ट्रेन और बस की गति क्रमशः $5x$,$9x$ और $4x$ है।
दिया गया है कि कार,बस और ट्रेन की औसत गति $72 \text{ km/h}$ है।
अतः,उनकी गति का योग $5x + 9x + 4x = 72 \times 3$ होगा।
$18x = 216$.
$x = \frac{216}{18} = 12$.
इस प्रकार,कार की गति $5 \times 12 = 60 \text{ km/h}$ और ट्रेन की गति $9 \times 12 = 108 \text{ km/h}$ है।
कार और ट्रेन की औसत गति $\frac{60 + 108}{2} = \frac{168}{2} = 84 \text{ km/h}$ है।

(C) सबसे पहले,कमल की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$18\, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$.
कमल द्वारा $100\, m$ की दौड़ पूरी करने में लिया गया समय:
$T_K = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{100}{5} = 20\, s$.
चूंकि कमल बिमल को $5$ सेकंड से हराता है,इसलिए बिमल को कमल से $5$ सेकंड अधिक समय लगता है:
$T_B = 20 + 5 = 25\, s$.
अब,बिमल की गति $m/s$ में ज्ञात करें:
$V_B = \frac{100}{25} = 4\, m/s$.
अंत में,बिमल की गति को वापस $km/h$ में बदलें:
$V_B = 4 \times \frac{18}{5} = 14.4\, km/h$.