$ABCD$ एक आयत है जो बिंदुओं $A(-1, -1)$,$B(-1, 4)$,$C(5, 4)$ और $D(5, -1)$ द्वारा बनता है। $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज $PQRS$ एक वर्ग है,एक आयत है,या एक समचतुर्भुज है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

(C) $P$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{-1-1}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ हैं।
इसी प्रकार,$Q, R$ और $S$ के निर्देशांक क्रमशः $(2, 4)$,$\left(5, \frac{3}{2}\right)$ और $(2, -1)$ हैं।
$PQ$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-4\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$QR$ की लंबाई $= \sqrt{(2-5)^2 + \left(4-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$RS$ की लंबाई $= \sqrt{(5-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-(-1)\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
$SP$ की लंबाई $= \sqrt{(2-(-1))^2 + \left(-1-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}}$.
विकर्ण $PR$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-5)^2 + \left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = 6$.
विकर्ण $QS$ की लंबाई $= \sqrt{(2-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(PQ = QR = RS = SP = \sqrt{\frac{61}{4}})$ और विकर्ण समान नहीं हैं $(PR \neq QS)$,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।