निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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Question

(D) $1$. विकल्प $A$ के लिए: गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$I = \int_{a}^{\pi-a} x f(\sin x) dx$. $x$ को

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उपरोक्त सभी

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(D) $1$. विकल्प $A$ के लिए: गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$I = \int_{a}^{\pi-a} x f(\sin x) dx$. $x$ को $a + (\pi - a) - x = \pi - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{a}^{\pi-a} (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) dx = \int_{a}^{\pi-a} (\pi - x) f(\sin x) dx$. दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{a}^{\pi-a} \pi f(\sin x) dx$,अतः $I = \frac{\pi}{2} \int_{a}^{\pi-a} f(\sin x) dx$. यह सत्य है।$2$. विकल्प $B$ के लिए: यदि $f(x)^2$ एक सम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x)^2 dx = 2 \int_{0}^{a} f(x)^2 dx$. चूंकि $f(x)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक और सममित होता है,इसलिए यह गुणधर्म सत्य है।$3$. विकल्प $C$ के लिए: गुणधर्म $\int_{0}^{nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(x+T) = f(x)$,यहाँ $f(\cos^2 x)$ का आवर्तकाल $\pi$ है। अतः,$\int_{0}^{n\pi} f(\cos^2 x) dx = n \int_{0}^{\pi} f(\cos^2 x) dx$. यह सत्य है।$4$. चूंकि सभी कथन सत्य हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

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