यदि theta का अस्तित्व इस प्रकार है कि a |se | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{1+a \cos x}$ है,जहाँ $a > 1$ (क्योंकि $a > |\sec 	heta| \ge 1$ है)।प्रतिस्थापन $\cos x = \frac{1-	an^2(x/2)}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{a^2-1}} \log \left(\frac{\sqrt{a+1} \cos \frac{x}{2}+\sqrt{a-1} \sin \frac{x}{2}}{\sqrt{a+1} \cos \frac{x}{2}-\sqrt{a-1} \sin \frac{x}{2}}\right)+C$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{1+a \cos x}$ है,जहाँ $a > 1$ (क्योंकि $a > |\sec 	heta| \ge 1$ है)।प्रतिस्थापन $\cos x = \frac{1-	an^2(x/2)}{1+	an^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:$I = \int \frac{dx}{1+a \left(\frac{1-	an^2(x/2)}{1+	an^2(x/2)}ight)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{1+	an^2(x/2) + a - a	an^2(x/2)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{(1+a) + (1-a)	an^2(x/2)}$.माना $t = 	an(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2}\sec^2(x/2) dx$,अतः $\sec^2(x/2) dx = 2dt$.$I = \int \frac{2dt}{(1+a) - (a-1)t^2} = \frac{2}{a-1} \int \frac{dt}{\frac{a+1}{a-1} - t^2}$.सूत्र $\int \frac{dt}{k^2 - t^2} = \frac{1}{2k} \ln \left| \frac{k+t}{k-t} ight| + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $k = \sqrt{\frac{a+1}{a-1}}$:$I = \frac{2}{a-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}} \ln \left| \frac{\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + t}{\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} - t} ight| + C = \frac{1}{\sqrt{a^2-1}} \ln \left| \frac{\sqrt{a+1} + \sqrt{a-1} 	an(x/2)}{\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} 	an(x/2)} ight| + C$.यह विकल्प $D$ में परिणत होता है।

यदि $\theta$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $a > |\sec \theta|$,तो $\int \frac{dx}{1+a \cos x} = $

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यदि $\int \frac{d x}{3-2 \cos 2 x}=\frac{\tan ^{-1}(f(x))}{\sqrt{5}}+c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $f(\pi / 4)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int(3 x+2) \sqrt{2 x^2+3 x+4} d x=f(x) \sqrt{2 x^2+3 x+4}+A \sinh ^{-1}\left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)+C$ है,तो क्रमित युग्म $(f(1), A)=$

$\int \frac{1}{x^m \sqrt[m]{x^m+1}} d x=$

$\int \frac{d x}{(x-1) \sqrt{x^2-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{d x}{(x+1)^{3 / 4}(x-2)^{5 / 4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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