$\int_1^3 {\sqrt {3 + {x^3}} \,dx} $ का मान निम्न अन्तराल में है

यदि ${I_1} = \int_0^1 {{2^{{x^2}}}dx,\;} {I_2} = \int_0^1 {{2^{{x^3}}}dx} ,\;{I_3} = \int_1^2 {{2^{{x^2}}}} $ $dx$ और ${I_4} = \int_1^2 {{2^{{x^3}}}dx} $, तब

फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int_0^2 \mathrm{e}^{|\mathrm{x}-\mathrm{t}|} \mathrm{dt}$ का निम्नतम मान है:

$\ln x e$ आधार के सापेक्ष $x$ के लघुगणक को इंगित करता है। मान लीजिए $S \subset R$ उन सभी बिन्दुओं का समुच्चय है, जहाँ फलन $\ln \left(x^2-1\right)$ पूर्णतः परिभाषित है । तब फलनों $f: S \rightarrow R$ की संख्या, जो अवकलनीय हैं एवं $f^{\prime}(x)=\ln \left(x^2-1\right)$ को सभी $x \in S$ तथा $f(2)=0$ को संतुष्ट करते है :

$x \in R$ के लिए, मान लें कि $f(x)=|\sin x|$ एवं $g(x)=\int_0^x f(t) d t$ है। मान लें कि $p(x)=$ $g(x)-\frac{2}{\pi} x$ । तब

यदि $[ x ]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है, तो $\pi^{2} \int \limits_{0}^{2}\left(\sin \frac{\pi x }{2}\right)( x -[ x ])^{[ x ]} dx$ बराबर है