int_{-pi/2}^{pi/2} (3sin x + sin^3 x) , dx का | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$.फलन $f(x) = 3\sin x + \sin^3 x$ पर विचार करें।$x$ के स्थान पर $-x$ रखकर जाँचें कि फलन

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(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$.फलन $f(x) = 3\sin x + \sin^3 x$ पर विचार करें।$x$ के स्थान पर $-x$ रखकर जाँचें कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = 3\sin(-x) + \sin^3(-x)$चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$,इसलिए:$f(-x) = 3(-\sin x) + (-\sin x)^3 = -3\sin x - \sin^3 x = -(3\sin x + \sin^3 x) = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx = 0$।

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (3\sin x + \sin^3 x) \, dx$ का मान है

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यदि शून्येतर $x$ के लिए,$af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5,$ जहाँ $a \ne b,$ है,तो $\int_1^2 {f(x)\,dx = } $

$\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = $

समाकलन $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ का मान है

यदि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ एकैकी (one-to-one),वास्तविक मान वाले फलन हैं,तो समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या है?

$\int_{1}^{6\pi}([\sec^{-1}x]+[\cot^{-1}x])dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

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