frac{C_1}{2} + frac{C_3}{4} + frac{C_5}{6} + | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का विस्तार इस प्रकार है:$(1 + x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + C_4 x^4 + C_5 x^5 + \dots$$(1 - x)^n = C_0

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^n - 1}{n + 1}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का विस्तार इस प्रकार है:$(1 + x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + C_4 x^4 + C_5 x^5 + \dots$$(1 - x)^n = C_0 - C_1 x + C_2 x^2 - C_3 x^3 + C_4 x^4 - C_5 x^5 + \dots$दोनों समीकरणों को घटाने पर:$(1 + x)^n - (1 - x)^n = 2(C_1 x + C_3 x^3 + C_5 x^5 + \dots)$$2x$ से भाग देने पर:$\frac{(1 + x)^n - (1 - x)^n}{2x} = C_1 + C_3 x^2 + C_5 x^4 + \dots$दोनों पक्षों का $x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर:$\int_0^1 \frac{(1 + x)^n - (1 - x)^n}{2x} dx = \int_0^1 (C_1 + C_3 x^2 + C_5 x^4 + \dots) dx$वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $\frac{C_k}{k+1} = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{k+1}$ का उपयोग करने पर:$\sum_{k 	ext{ odd}} \frac{C_k}{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k 	ext{ odd}} \binom{n+1}{k+1} = \frac{2^n - 1}{n + 1}$

$\frac{C_1}{2} + \frac{C_3}{4} + \frac{C_5}{6} + \dots$ का मान किसके बराबर है?

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यदि ${}^{21}C_1 + 3 \cdot {}^{21}C_3 + 5 \cdot {}^{21}C_5 + \dots + 19 \cdot {}^{21}C_{19} + 21 \cdot {}^{21}C_{21} = k$ है,तो $k$ के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$ है। तो $3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\binom{50}{4} + \sum_{i=1}^{6} \binom{56-i}{3} = \dots$

यदि $(1 + x)^n$ के विस्तार में $5^{th}$,$6^{th}$ और $7^{th}$ पदों के गुणांक $A.P.$ में हैं,तो $n =$

यदि $1^2 \cdot \binom{15}{1} + 2^2 \cdot \binom{15}{2} + 3^2 \cdot \binom{15}{3} + \ldots + 15^2 \cdot \binom{15}{15} = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$,जहाँ $m, n, k \in N$,तो $m + n + k$ का मान है :-

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