sumlimits_{n = 2}^infty {frac{n}{{1 + {n^2}l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ પદ $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{1 + n^2(n^2 - 2)} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^4 - 2n^2 + 1}$ છે.અહીં છેદ એક પૂર્ણ વર્ગ છે: $n^4 - 2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5}{16}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ પદ $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{1 + n^2(n^2 - 2)} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^4 - 2n^2 + 1}$ છે.અહીં છેદ એક પૂર્ણ વર્ગ છે: $n^4 - 2n^2 + 1 = (n^2 - 1)^2 = (n-1)^2(n+1)^2$.તેથી,પદ $\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2}$ થાય.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n}{(n-1)^2(n+1)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$ લખી શકાય.હવે,ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળાની ગણતરી કરતા:$S = \frac{1}{4} \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) + \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) + \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{6^2} \right) + \dots \right]$.મોટાભાગના પદો ઉડી જશે,ફક્ત પ્રથમ બે ધન પદો બાકી રહેશે:$S = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{5}{16}$.

$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

શ્રેણી $\frac{1}{1} + \frac{1 + 2}{2} + \frac{1 + 2 + 3}{3} + \dots$ નું $n^{th}$ પદ શું હશે?

જો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ (હરાત્મક શ્રેણી) માં હોય,તો

જો $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx}, (x \ne 0)$ હોય,તો $a, b, c, d$ શેમાં છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module