यदि [.] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi \left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] dx$ है।किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[a + n]

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$3 \pi / 4$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi \left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] dx$ है।किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[a + n] = [a] + n$ होता है,इसलिए $\left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] = [\sin x] + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right]$ होगा।अंतराल $\frac{3 \pi}{4} \leq x \leq \pi$ के लिए,$\sin x$ का मान $0$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के बीच होता है।चूंकि $0 \leq \sin x अब,$\frac{3 \pi}{4} \leq x अतः,$\left[ \frac{4 x}{\pi} \right] = 3$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi (0 + 3) dx$ प्राप्त होता है।$I = 3 \int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi dx = 3 [x]_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi = 3 \left( \pi - \frac{3 \pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3 \pi}{4}$.

यदि $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi \left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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