यदि a_1, a_2, dots, a_n सार्व अंतर d के साथ A | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d = a_{k+1} - a_k$ के साथ $A.P.$ में हैं।दी गई श्रेणी $S = \sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2

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$\cot a_1 - \cot a_n$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d = a_{k+1} - a_k$ के साथ $A.P.$ में हैं।दी गई श्रेणी $S = \sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ है।हम $\sin d$ को $\sin(a_{k+1} - a_k)$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,श्रेणी का प्रत्येक पद इस प्रकार लिखा जा सकता है:$\sin(a_{k+1} - a_k) \csc a_k \csc a_{k+1} = \frac{\sin(a_{k+1} - a_k)}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \frac{\sin a_{k+1} \cos a_k - \cos a_{k+1} \sin a_k}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \cot a_k - \cot a_{k+1}$.$k=1$ से $n-1$ तक इन पदों का योग करने पर:$S = (\cot a_1 - \cot a_2) + (\cot a_2 - \cot a_3) + \dots + (\cot a_{n-1} - \cot a_n)$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:$S = \cot a_1 - \cot a_n$.

यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं,तो श्रेणी $\sin d (\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n)$ का योग क्या है?

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