ગણ {1, 2, 3, ldots, 100} માં ધન પૂર્ણાંકો n ન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ છે.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને છેદ $\f

Vedclass · Accepted Answer

$34$

Vedclass · Answer

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ છે.પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને છેદ $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.તેમનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{2n+1}{3}$ મળે છે.આ પદાવલિ પૂર્ણાંક બને તે માટે,ધારો કે $\frac{2n+1}{3} = k$,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.આનો અર્થ એ છે કે $2n+1 = 3k$,અથવા $2n = 3k-1$.$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $3k-1$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $k$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.$1 \leq n \leq 100$ આપેલ હોવાથી,$1 \leq \frac{3k-1}{2} \leq 100$.$2 \leq 3k-1 \leq 200$ $\Rightarrow 3 \leq 3k \leq 201$ $\Rightarrow 1 \leq k \leq 67$.આપણે $[1, 67]$ અંતરાલમાં એકી પૂર્ણાંકો $k$ ની સંખ્યા ગણવાની છે.એકી પૂર્ણાંકો $1, 3, 5, \ldots, 67$ છે.આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,$d=2$,અને $l=67$ છે.$l = a + (m-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$67 = 1 + (m-1)2$ $\Rightarrow 66 = 2(m-1)$ $\Rightarrow 33 = m-1$ $\Rightarrow m = 34$.આમ,આવા $34$ પૂર્ણાંકો $n$ છે.

ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માં ધન પૂર્ણાંકો $n$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે $\frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{1+2+3+\ldots+n}$ એક પૂર્ણાંક થાય?

Similar Questions

$\sum_{n=1}^5 n(n^2+n+1) = $

જો $\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

$1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \ldots$ શ્રેણીના $n$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $a, b, c, d$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $\sum_{k=1}^n (a k^3+b k^2+c k+d)=n^4$ થાય. તો,$|a|+|b|+|c|+|d|$ ની કિંમત શોધો.

નીચેની શ્રેણી $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module