આપેલ ગોળામાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા શંકુની ઊંચાઈ અને ગોળાના વ્યાસનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

જો $x = 1$ એ વિધેય $f(x) = (3x^{2} + ax - 2 - a)e^{x}$ નું ક્રાંતિક બિંદુ હોય,તો

વિધાન-$I$: શ્રેઢી $a_n = \frac{n^2}{n^3 + 200}, n \in N$ નું $7^{th}$ પદ સૌથી મોટું પદ છે.
વિધાન-$II$: વિધેય $f(x) = \frac{x^2}{x^3 + 200}$ એ $x = 7$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

વિધાન-$I$: ધારો કે વિધેય $f(x) = \begin{cases} -\frac{x}{2} & x < 0 \\ 7x + 8 & x \geq 0 \end{cases}$ છે. તો $f(x)$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ છે.
વિધાન-$II$: જો પૂરતા નાના $h > 0$ માટે $f(a) < f(a - h)$ અને $f(a) < f(a + h)$ હોય,તો $f(x)$ ને $x = a$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ છે.

અંતરાલ $\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ પર $f(x)=\tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \ln x$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.

જો $x=-1$ અને $x=2$ એ $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$ ના અંતિમ બિંદુઓ હોય,તો