હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $...... \text{ } \mathring{A}$ છે (હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $= 0.53 \text{ } \mathring{A}$).

હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં એક ઇલેક્ટ્રોન,ઊર્જા ફોટોનનું શોષણ કર્યા પછી,ઊર્જા અવસ્થાઓ $n_1$ અને $n_2$ $(n_2 > n_1)$ વચ્ચે કૂદકો મારી શકે છે. ત્યારબાદ તે ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં છ અલગ-અલગ તરંગલંબાઇઓનું ઉત્સર્જન કરીને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં પાછો ફરે છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા શોષાયેલા ફોટોન કરતાં સમાન,ઓછી અથવા વધારે હોઈ શકે છે. તો $n_1$ અને $n_2$ શોધો.

પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n=3$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને ધ્યાનમાં લો. નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર,$k_B T$ જેટલી ઉષ્મીય ઉર્જા ધરાવતા ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ આ ઇલેક્ટ્રોન જેટલી જ છે. જો આ તાપમાન $T = \frac{Z^2 h^2}{\alpha \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે,(જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$m_N$ એ ન્યુટ્રોનનું દળ છે અને $a_0$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર ત્રિજ્યા છે),તો $\alpha$ નું મૂલ્ય $....$ છે.

હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલમાં,$n = 2$ અને $n = 1$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર કેટલો છે ($: 1$ માં)?

$1 \,\mu m$ લંબાઈ અને $1 \,nm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કાર્બન નેનોટ્યુબમાંથી $10$ ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવામાં આવ્યા છે. ધારો કે પરિણામી ધન વિદ્યુતભાર ટ્યુબની સપાટી પર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. ટ્યુબની લંબાઈની અક્ષની આસપાસ સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા બોહર મોડેલનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. તદનુસાર,ઇલેક્ટ્રોનને તેના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી આગલા સ્તર પર ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી વિકિરણની આવૃત્તિ કયા વિસ્તારમાં હશે? (ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર,$e = 1.60 \times 10^{-19} \,C$; ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \,kg$; પ્લાન્કનો અચળાંક,$h = 6.63 \times 10^{-34} \,Js$; શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$)

હાઇડ્રોજન પરમાણુની સૌથી અંદરની કક્ષાની ત્રિજ્યા $5.3 \times 10^{-11} \ m$ છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુની ચોથી માન્ય કક્ષાની ત્રિજ્યા કેટલી હશે ($Å$ માં)?