$10$ सफेद,$9$ काली और $7$ लाल गेंदों में से,एक या अधिक गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या है:

$6$ '$+$' और $4$ '$*$' चिह्नों को एक पंक्ति में कितनी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो '$*$' चिह्न एक साथ न आएं?

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें उसे पहले $6$ प्रश्नों में से कम से कम $5$ प्रश्न चुनने हैं। छात्र के पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है:

प्रथम $50$ प्राकृतिक संख्याओं में से $p$ और $q$ को चुनकर ऐसी क्रमित युग्म $(p, q)$ बनाने के तरीकों की संख्या क्या है कि $p > q$ हो?

एक गाँव में $10$ खिलाड़ी हैं। $6$ खिलाड़ियों की एक टीम बनाई जानी है। इन $10$ खिलाड़ियों में से $5$ सदस्यों को चुना जाता है और फिर शेष $5$ खिलाड़ियों में से कप्तान चुना जाता है। ऐसी टीम चुनने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$r$ का वह मान जिसके लिए $^{15}C_{r+3} = ^{15}C_{2r-6}$ है,वह है