જો $y = f (x)$ અને  $y = g (x)$ એ $[0,2]$ પર બે વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0) = 3,$ $f(2) = 5$ , $g (0) = 1$ અને $g(2) = 2$ થાય. જો ઓછામાં ઓછો એક $c \in \left( {0,2} \right)$ મળે કે જેથી $f'(c)=kg'(c)$ થાય તો $k$ મેળવો.

 વિધેય $f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-4, x \in[1,2]$ માટે $f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right)=0$ સાથે રોલનું પ્રમેટ પળાતું હોય, તો કમયુક્ત જોડ $(a, b) = ...........$

જો વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ એ અંતરાલ $[-1, 1 ]$ પર બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય $2a + b$ ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે $\mathrm{g}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ અચળ ન હોય તેવો દ્રિવિકલનીય વિધેય છે જ્યાં $\mathrm{g}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{g}\left(\frac{3}{2}\right)$. જો વાસ્તવિક મૂલ્યવાળું વિધેય $F$ એ $f(x)=\frac{1}{2}[g(x)+\mathrm{g}(2-x)]$ ] પ્રમાણે  વ્યાખ્યાયિત થાય, તો: 

$a =-2$ અને $b = 2$ હોય, તો વિધેય $y=x^{2}+2$ માટે રોલનું પ્રમેય ચકાસો.

$x \in[-4,2]$ માં વિધેય $f(x)=x^{2}+2 x-8$ માટે રોલનું પ્રમેય ચકાસો.