मान लीजिए u = int_0^1 frac{ln(x + 1)}{x^2 + 1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तो $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$; ज

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$4u + v = 0$

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(B) दिया गया है $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तो $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=1, 	heta=\frac{\pi}{4}$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an 	heta) \, d	heta$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an(\frac{\pi}{4} - 	heta)) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\frac{2}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \, d	heta = \frac{\pi}{4} \ln 2 - u$.$2u = \frac{\pi}{4} \ln 2 \implies u = \frac{\pi}{8} \ln 2$.अब,$v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$. मान लीजिए $2x = t$,तो $dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.$v = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt$.मानक परिणाम $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ का उपयोग करने पर,हमें $v = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ प्राप्त होता है।$u$ और $v$ की तुलना करने पर: $4u = 4(\frac{\pi}{8} \ln 2) = \frac{\pi}{2} \ln 2 = -v$.अतः,$4u + v = 0$.

मान लीजिए $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ और $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ है,तो:

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माना $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. तो $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

$\int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n, r \in N$)

$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक . . . . . है।

माना $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ और $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. तो:

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