int_{0}^{^{n}C_{r}} { sin^{2}{x} } dx का मान | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I = \int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ है। चूंकि $\{x\} \in [0, 1)$,इसलिए $\sin^{2}\{x\} \in [0, \sin^{2} 1)$। चूंकि $\sin^{2} 1

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$\frac{1}{2} ^{n}C_{r}(1 - \sin 1 \cos 1)$

Vedclass · Answer

(C) समाकलन $I = \int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ है। चूंकि $\{x\} \in [0, 1)$,इसलिए $\sin^{2}\{x\} \in [0, \sin^{2} 1)$। चूंकि $\sin^{2} 1 अतः,$I = \int_{0}^{^{n}C_{r}} \sin^{2}\{x\} dx$। चूंकि $\sin^{2}\{x\}$ एक $1$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है,इसलिए $I = ^{n}C_{r} \int_{0}^{1} \sin^{2} x dx$। सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = ^{n}C_{r} \int_{0}^{1} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{^{n}C_{r}}{2} [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{1}$। $I = \frac{^{n}C_{r}}{2} (1 - \frac{\sin 2}{2}) = \frac{^{n}C_{r}}{2} (1 - \sin 1 \cos 1)$।

$\int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n, r \in N$)

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