ધારો કે u = int_0^1 frac{ln(x + 1)}{x^2 + 1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. ધારો કે $x = 	an 	heta$,તો $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્ય

Vedclass · Accepted Answer

$4u + v = 0$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. ધારો કે $x = 	an 	heta$,તો $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્યારે $x=1, 	heta=\frac{\pi}{4}$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an 	heta) \, d	heta$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an(\frac{\pi}{4} - 	heta)) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\frac{2}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \, d	heta = \frac{\pi}{4} \ln 2 - u$.$2u = \frac{\pi}{4} \ln 2 \implies u = \frac{\pi}{8} \ln 2$.હવે,$v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$. ધારો કે $2x = t$,તો $dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.$v = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt$.પ્રમાણિત પરિણામ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ મળે છે.$u$ અને $v$ ની સરખામણી કરતા: $4u = 4(\frac{\pi}{8} \ln 2) = \frac{\pi}{2} \ln 2 = -v$.તેથી,$4u + v = 0$.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

ધારો કે $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ અને $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ હોય,તો:

Similar Questions

ધારો કે $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ અને $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. તો:

જો $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module