यदि {I_n} = int_{ - n}^n {{{tan }^2}{x}dx} ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया है ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx}$.चूंकि $\{x\}$ एक $1$ आवर्तकाल वाला फलन है,इसलिए $\int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx} = 2n

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${I_1}{I_2} = 8\left( {{{\sec }^2} 1 - 2 - {I_1}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx}$.चूंकि $\{x\}$ एक $1$ आवर्तकाल वाला फलन है,इसलिए $\int_{ - n}^n {{{	an }^2}\{x\}dx} = 2n \int_0^1 {{{	an }^2}x dx}$ होगा।समाकलन का मान: $\int_0^1 {{{	an }^2}x dx} = \int_0^1 {({{\sec }^2}x - 1)dx} = [	an x - x]_0^1 = 	an 1 - 1$.अतः,${I_n} = 2n(	an 1 - 1)$.$n=1$ के लिए,${I_1} = 2(	an 1 - 1)$.$n=2$ के लिए,${I_2} = 4(	an 1 - 1) = 2{I_1}$.तब ${I_1}{I_2} = {I_1}(2{I_1}) = 2{I_1}^2 = 2[2(	an 1 - 1)]^2 = 8{(	an 1 - 1)^2}$.वर्ग का विस्तार करने पर: $8({	an ^2}1 - 2	an 1 + 1) = 8({{\sec }^2}1 - 1 - 2	an 1 + 1) = 8({{\sec }^2}1 - 2	an 1)$.चूंकि ${I_1} = 2	an 1 - 2$,इसलिए $2	an 1 = {I_1} + 2$.यह मान रखने पर: ${I_1}{I_2} = 8({{\sec }^2}1 - ({I_1} + 2)) = 8({{\sec }^2}1 - 2 - {I_1})$.

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

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मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,और $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. तो:

$I(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,जहाँ $m, n > 0$ है,तो $I(9, 14) + I(10, 13)$ का मान क्या होगा?

यदि $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है,तो $n \in N$ का मान $\dots\dots$ है।

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