ધારો કે $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. તો $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ શેમાં છે?

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2)=1$. જો બધા $x \in R$ માટે $F(x) = x f(x)$ હોય,$\int_0^2 x F^{\prime}(x) dx = 6$ અને $\int_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો $F^{\prime}(2) + \int_0^2 F(x) dx$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે જે $f'(x) = f(x)$ નું પાલન કરે છે અને $f(0) = 1$ છે,અને $g(x)$ એવું વિધેય છે જે $f(x) + g(x) = x^2$ નું પાલન કરે છે. તો સંકલન $\int_0^1 f(x)g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx + \int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો પરવલય $y = ax^2 + bx + c$ ના શિરોબિંદુનો $x$-યામ $1$ $(a, b, c > 0)$ હોય અને $f(x) = \int_0^x (3at^2 + bt + c) dt$ એ $\forall x \in R$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય,તો $[\frac{a}{c}]$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

જો $x$ એ સમીકરણ $\left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1} \right) x^2 - \left( \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt \right) x - 2 = 0$ $(0 < \alpha < \pi)$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.