मान लीजिए $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. तो $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ किसमें हैं?

यदि $f(x)$ एक फलन है जो $f^{\prime}(x)=f(x)$ को संतुष्ट करता है और $f(0)=1$ है,तथा $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x)+g(x)=x^2$ को संतुष्ट करता है,तो समाकलन $\int_0^1 f(x) g(x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ का अस्तित्व है,तो $\int_{0}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है	$1.$ $8$
$Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है	$4.$ $0$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,और $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. तो: