જો I_n = int_{0}^{1} frac{dx}{(1 + x^2)^n}; n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 + x^2)^{-n}$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -n(1 + x^2)^{-n-1} (2x)

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ અને $(B)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 + x^2)^{-n}$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -n(1 + x^2)^{-n-1} (2x) dx$ અને $v = x$ મળે.$I_n = [x(1 + x^2)^{-n}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (-2nx)(1 + x^2)^{-n-1} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{(1 + x^2) - 1}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n [I_n - I_{n+1}]$$2n I_{n+1} = \frac{1}{2^n} + (2n - 1) I_n$. આ વિધાન $(A)$ સાબિત કરે છે.$n=1$ માટે,$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = [	an^{-1} x]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$.$n=1$ માટે રિડક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2(1) I_2 = \frac{1}{2^1} + (2(1) - 1) I_1 \implies 2 I_2 = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \implies I_2 = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$. આ વિધાન $(B)$ સાબિત કરે છે.આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Similar Questions

ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. તો $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f(0)=-1$,$f^{\prime}(\log _e 2)=21$,અને $\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$ હોય,તો $|a+b+c|$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module