ધારો કે S એ XY-સમતલમાં એક વર્તુળ છે જે X-અક્ષ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે. તે $X$-અક્ષને $A$ પર અને $Y$-અક્ષને $B$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,$P$ ના યામ $(r, r)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે. તે $X$-અક્ષને $A$ પર અને $Y$-અક્ષને $B$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,$P$ ના યામ $(r, r)$ છે.ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $P(r,r)$ નું અંતર $OP = \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ છે.વર્તુળ $S$ એ એકમ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ને $C$ પર બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $OP = 1 + r$.$OP$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $r\sqrt{2} = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$.$	riangle OAP$ માં,$OA = r$,$AP = r$,અને $\angle OAP = 90^{\circ}$. તેથી,$	riangle OAP$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle AOP = \angle APO = 45^{\circ}$.$	riangle PCA$ માં,$PC = r$ અને $AC = r$ (વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યાઓ). તેથી,$	riangle PCA$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle PCA = \angle PAC$ છે.ખૂણો $\angle CPA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (કારણ કે $O, C, P$ સમરેખ છે).$	riangle PCA$ માં,$2\angle PCA + 135^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2\angle PCA = 45^{\circ} \Rightarrow \angle PCA = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$.અંતે,$\angle OCA = 180^{\circ} - \angle PCA = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} = 157.5^{\circ} = \frac{5\pi}{8}$.

Similar Questions

$x$-અક્ષને સમાંતર અને $x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$ વર્તુળને સ્પર્શતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ શોધો.

$x^2+y^2-4x-2y+k=0$ અને $x^2+y^2-6x-4y+l=0$ વર્તુળો,જેની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે,તેમના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો બે વર્તુળોમાં,સમાન લંબાઈના ચાપ કેન્દ્ર આગળ $60^{\circ}$ અને $75^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે છે,તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધો.

જો વર્તુળો $x^2 + y^2 - 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2ax + 2y + 1 = 0$ એકબીજાને સ્પર્શતા હોય,તો $a =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module