int sqrt{1 + csc x} , dx का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \sqrt{1 + \frac{1}{\sin x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\sin x + 1}{\sin x}} \, dx$. अंश और हर को $\sqrt{1 - \sin x}$ से गुणा करने पर:

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$(A)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \sqrt{1 + \frac{1}{\sin x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\sin x + 1}{\sin x}} \, dx$. अंश और हर को $\sqrt{1 - \sin x}$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{\sqrt{(1 + \sin x)(1 - \sin x)}}{\sqrt{\sin x(1 - \sin x)}} \, dx = \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x - \sin^2 x}} \, dx$. माना $t = \sin x$,तब $dt = \cos x \, dx$. $I = \int \frac{dt}{\sqrt{t - t^2}} = \int \frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{4} - (t^2 - t + \frac{1}{4})}} = \int \frac{dt}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (t - \frac{1}{2})^2}}$. सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करने पर: $I = \sin^{-1}\left(\frac{t - 1/2}{1/2}\right) + c = \sin^{-1}(2t - 1) + c = \sin^{-1}(2 \sin x - 1) + c$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,यह समाकलन $2 \sin^{-1} \sqrt{\sin x} + c$ और $\cos^{-1}(1 - 2 \sin x) + c$ दोनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

$\int \sqrt{1 + \csc x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \frac{\sin^2 \pi x}{1+\pi^x}$ है,तो $\int (f(x) + f(-x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_n = \int \tan^n x \ dx$,और $I_0 + I_1 + 2 I_2 + 2 I_3 + 2 I_4 + I_5 + I_6 = \sum_{K=1}^n \frac{\tan^K x}{K}$,तो $n = $

यदि ${I_1} = \int {{{\sin }^{ - 1}}x\,dx} $ और ${I_2} = \int {{{\sin }^{ - 1}}\sqrt {1 - {x^2}} } dx$ है,तो:

यदि $\int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}} = (\tan x)^A + C(\tan x)^B + K$,जहाँ $K$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $5(A+B+C)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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