यदि $a_i^2 + b_i^2 + c_i^2 = 1$ $(i = 1, 2, 3)$ और $a_i a_j + b_i b_j + c_i c_j = 0$ $(i \ne j, i, j = 1, 2, 3)$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

केवल $0$ या $1$ तत्वों वाले $2 \times 2$ क्रम के सभी सारणिकों के समुच्चय से एक सारणिक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए सारणिक के अशून्य होने की प्रायिकता ......... है।

यदि $\omega$ इकाई का घनमूल है और $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2\omega \\ \omega & \omega^2 \end{vmatrix}$ है,तो $\Delta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ के वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b, c \in R$ और $a, b \neq 0$ है। यदि $u, v, w$ में समीकरणों की प्रणाली $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$,$\beta u + \gamma v + \alpha w = 0$,और $\gamma u + \alpha v + \beta w = 0$ का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो $\frac{a^{2}}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरण निकाय $ax + y + z = 0$,$x + by + z = 0$ और $x + y + cz = 0$,जहाँ $a, b, c \neq 1$ है,का एक अशून्य हल है,तो $\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1 - c}$ का मान क्या है?

$\left| \begin{array}{ccc} x & 3x + 2 & 2x - 1 \\ 2x - 1 & 4x & 3x + 1 \\ 7x - 2 & 17x + 6 & 12x - 1 \end{array} \right| = 0$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के वास्तविक मानों की संख्या है