यदि  $^n{C_3} + {\,^n}{C_4} > {\,^{n + 1}}{C_3},$ तब

$\sum\limits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } $

यदि $^n{C_{12}} = {\,^n}{C_6}$, तब $^n{C_2} = $

$5$ लड़कियों तथा $7$ लड़कों को एक गोल मेज पर इस प्रकार बैठाने, कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें, के तरीकों की संख्या है

$2 \le r \le n$ केलिए,$\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right) + 2\,\left( \begin{array}{l}\,\,n\\r - 1\end{array} \right)$ $ + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\{r - 2}\end{array}} \right)$=

$52$ पत्तों की एक गड्डी में से $5$ पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि $5$ पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है